LIVRE PREMIER

PROPOSITION XXXVI. — THÉORÈME

Un nombre entier N ne saurait être la puissance m d’une

fraction irréductible - , dont le dénominateur n’est pas l’unité.

a . . /a\ ” am

Car si — étaitIaracinemdeN,ilfaudraitque ( - ). ou — fui égal

a . am

au nombre entier N ; mais si — esl irréductible, 7— l’est : donc

si b n’est l’unité , ne saurait être un nombre entier. bm

Corollaire. Par conséquent, si un nombre entier N n’est pas la puissance m d’un nombre entier, sa racine m ne saurait être assignée exactement, puisqu’elle ne peut pas non plus être re-

présentée par une fraction arithmétique. Ainsi V' N n’a pas de commune mesure avec l’unité : car tout nombre qui a une commune mesure avec l’unité est ou un assemblage d’unités ou une réunion de plusieurs parties égales de l’unité, c’est-à-dire un

nombre entier ou une fraction arithmétique. P^r suite l^N est incommensurable. '

PROPOSITION XXXVII. — THÉORÈME

Si les deux termes d’une fraction sont des puissances m parfaites , la racine m de cette fraction est égale à la racine m du numérateur, divisée par celle du dénominateur.

Soit — la fraction : sa racine m est 7 ; car la puissance m de b m b

ALGÈBRE

PROPOSITION XXXVIII. — THÉORÈME

Si les deux termes d’une fraction arithmétique irréductible ne sont pas des puissances m parfaites , sa racine m est incommensurable.

Car si une fraction arithmétique irréductible - est la racine

A d'n A cl ci?*

m d’une autre - , c’est que — = ^ ; or, - étant irréductible, —

l’est aussi , et pour que deux fractions irréductibles i— , ^ soient

égales, il faut qu’elles le soient terme à terme; donc on aurait A=«m, B = 6", ce qui signifie que A et B sont des puissances m parfaites; si donc A et B ne sont pas des puissances m par-

faites, la racine m de - ne sera pas commensurable.

PROPOSITION XXXIX. — THEOREME.

Pour avoir, à. une unité près, la racine m d’un nombre entier N , accompagné d’une fraction - moindre que 1 , il suffit de prendre

celle N à une unité près.

En effet soit a, a-j-l deux nombres entiers qui comprennent

entre eux l^N; il s’ensuit que N sera compris entre am et (a-)-l)“; mais N et (a+l)“ étant deux nombres entiers différents, dont le second est plus grand que l’autre, il s’ensuit que si à N on ■b . , 4 „ b

ajoute une partie - , moindre que 1 , N sera encore compris

entre am et (a+l)m; donc y N-f — sera aussi compris entre a