LIVRE PREMIER

Corollaire. Celte proposition sert à simplifier les radicaux, c’est-à-dire à réduire au moindre nombre possible les facteurs qui sont sous le radical. A cet effet, on décompose le coefficient dans ses facteurs simples : soit a* un facteur numérique ou lit-

téral placé sous \/. On divise p par ni : si q est le quotient, r le reste , on remplacera ap sous le radical par ar , et l’on mettra ai devant ce même radical. Car on aura p = mq-\-r; donc

m m m ni m

1/ ha?—V AamMXrtr = V ' a"" \Y KaT—od/ Aar.- Exemples. 1’, V' 98 a3 b* — b7 ‘2.7 ’.a3A$ — lab'V' ’îa.

2° , b7 1 I52nô5 2\3.6’ b7 2 ab = 2 46’ VJab.

3p, b7 3456a56'’c —)/ 2". 3 3.aib',c — 2’.3 .ab b7 ‘ia.'bc

= 12 ab Ÿîa'bc.

Cette transformation n’exige pas que la quantité sous le radical soit monôme. Ainsi soit 1°, b7 da'-f-Sa’ô’ ;

ce radical se met sous la forme

b7 4«’(aH-26') = 2«b7 a'-\-ïb\ .

2°, V'îla*—Ma-;b-\-%\é'b' = V7 27a°(a’— '2ab+U\

3°, b7 5 a3 — lOrt’ô+àrtô1 —V' 5 a(a’ — 2«6-(-ô,) = ( a — b)^ 5 a.

Cela s’appelle faire sortir un facteur de dessous le radical.

La transformation inverse sert à faire entrer un facteur sous le

iu m

radical. On a rtb76 = b7â'"6;

on voit qu’à cet effet on élève le facteur à la puissance dont le degré est l’indice du radical.

Définition 23. Deux radicaux sont dits semblables s’ils ne dif-

ALGÈBRE

furent tout au plus que par leurs coefficients : tels que +2l/ a'b,

— 7 aV a'b; 2 et — 7 a sont les coefficients.

PROPOSITION XL1II. — THÉORÈME

La somme ou la différence de deux radicaux semblables est égale au radical commun , multiplié par la somme ou la différence des coefficients.

Car (p. 4) , on a pour toute espèce de nombre (a±&) L—a/t~±bfr

* mm m

donc aussi a V' cidbV' c — (a±b) V^c.

Ex. la V'b-irQa t/6 8ab/6 = (7a-+-9a— 8a) \/b = 8a Vb.

PROPOSITION XLIV. — THÉORÈME

On ne change pas la valeur absolue d’un radical en multipliant par un même nombre l’indice du radical et les exposants des facteurs sous le signe radical.

Soit V' axb3; je dis qu’on a

ra mn

V a*b& — V a*abP*

Car la seconde expression est la racine mn de axnbPa ; la première l’e.st aussi. En effet pour l’élever à la puissance mn, on a

G ni \ ra» l / m \“'\n / x ”

/axbî) = \\\/<î*b&) J — \axb?J =a*n6Sn.

Donc, etc.

Corollaire 1. Lorsque l’indice et les exposants sont divisibles par un même nombre, on ne change donc pas non plus la valeur absolue du radical en opérant cette division.

Àinsi, V'ÿa’' ■=.V/'é’,àl — \/ 3a m

V'^lat^ — V' 3 3a*b3 ~ V 3 a3 b

LIVBK PREMIER. -J I

Corollaire 2. On pourra réduire au même indice, tant de radicaux qu’on voudra.

1*,^ a3, b 4 ; on multipliera l’indice et les exposants de chaque

radical par l’indice de l’autre; ainsi a3 — \/ a?, S/lfi — V' b 8.

2°, V' a, V^b , \/~c. On prend pour indice commun le plus petit multiple commun aux nombres 4, 3,6; c’est 12 , et l’on a

V'a~Vr^, V^b — V^b^, V^c—V^d*.

PROPOSITION XIV. — THÉORÈME

Pour faire le produit de plusieurs radicaux de même indice, il suffit défaire le produit des quantités placées sous les radicaux, d’affecter ce produit du signe radical commun, et de multiplier le résultat par le produit des coefficients des radicaux donnés.

Car à/ byjÿ' d = aê/ b. ;

- or, on a prouvé (p.. 42), que \/~b. Vd—V'Td^

donc le produit cherché est ad//l>d.

Ex. 1°, 5al//a6x7al/3a = 35a1l'//3fl’é;

et simplifiant =’35a3l//36.

2°, 4l//«J6x5l//aô’=:20l//a363=:20a6.

3”, 2 Vr^Fb-yyr^b3 — ïVrcW> = 2061/0*.

Remarque. Si les radicaux n’ont pas le même indice, on commence par les y réduire (p. 44 , c. 2).

Ex. 1° , \/ ox2 — V' a3X 2 V'a^zx. 2 \^cP — laV' a.

.6 4 lî 12

2°, bV a‘-Jrb'xZV' a'— b' = 5 V/(a’-M’’)’x3l/ («’— 6’)3.

ALGEBRE.