LIVRE PREMIER

Aà'V (a+6)*

PROPOSITION XLVII. — THÉORÈME

Pour élever un radical à une puissance , on élève à cette puissance la quantité sous le radical, ainsi que le coefficient; et pour extraire une racine (Tun radical privé de coefficient , on multiplie l’indice par le degré de la racine à extraire.

1° Soit V' a à.élever à la puissance n ; on a

f ra m m m m m

[Y' aj—\7 a.Vrâ.\/ a.... — \/ a.a.a....— a" (p.42).

Cette règle s’applique au cas où n est négatif; car

— L = J, d’après ce qu’on vient de prouver.

Mais

^ ar

2 Soit a extraire la racine m, del^ a ; je dis que

■ / n ran

V^a = Va.

V \S a à la puis

Car élevons

puissance mn. A. cet effet on l’élève

d abord à la puissance m , ce qui donne l ^ a, que l’on élève à la puissance n , et l’on a a.

Donc

V ^ u, est la racine mn de a, c’est-à-di

dire est égal à l^a.

ALGfenRE.

Ex. (j/ 4a’) = l/ 16a* = 2al/2a (p. 42, c).

V l/ga'l = l/9a* = V 3a’. (p. 44).

Remarque 1. S’il faut élever à la puissance n un radical dont l’indice est divisible par », au lieu d’élever sous le radical à la puissance », on n’a qu’à diviser l’indice par ».

/ ron \ a mn

Car K)/ a) = i/o", comme on vient de le prouver;

ma w

et V' a" = l/â, (p. 44).

/ ffln \n m __

De cette manière {y' a) = ^ a , (l/ a) = V^a.

Remarque 2. S’il faut extraire la racine m d’un radical, et si' la quantité sous ce radical est une puissance m parfaite, au lieu de multiplier l’indice par m, on pourra extraire la racine m de la quantité sous le radical.

■ / n mn.

Car V ^ am' = b/amr, comme on l’a prouvé

mn n

Or b/amr = y ax (p. 44 , c. 1 ) ; donc , etc.

I / n ma

Remarque 3. La relation V V a — V a prouve que pour extraire la racine mn d’un nombre, il suffit d’extraire la racine m de la racine n de ce nombre.

Vinsi ^256 = |/ 1/266 = 1^16 = 4;