LIVRE PREMIER

/ I / r mnr

îême / V V* a—V a.

De même

Cette propriété, qui a lieu lorsque les racines peuvent être extraites exactement, est encore vraie dans le cas contraire, si l’on veut en approcher à moins d’une unité près.

Car soit a — b-\-a , b étant un nombre entier, et <*<^1.

Pour avoir, à une unité près, la racine m de b-\-a , il suffit (p. 39) de prendre celle de b ; soit c cette racine, on aura ainsi

a = \ /{rm =

S’il faut encore prendre, à une unité près, la racine r de ^ a, à une unité près, on peut faire abstraction de /3, etc.

Définition 24. Pour représenter un radical tel que V an,n étant positif ou négatif, on est convenu d’affecter a de l’exposer frac-

tionnaire — ; ainsi , par convention m

1 / an — am‘

Cette égalité de convention est une propriété démontrée toutes les fois que n est divisible par m; car il est prouvé (p. 41) que

01 — — mr

V' amt — aT — am-

PROPOSITION XLVIII* — THÉORÈME

L’exposant fractionnaire est assujetti aux mêmes règles de calcul que l’exposant entier.

1* Je dis que a“ Xfl'= am r.

Car n et s étant positifs ou négatifs, mais m et r positifs , on a , par définition ,

ALGkBRE.

am = I / a" , ar — ;

réduisant ces deux radicaux au même indice, on a (p. 44 , c. 2)

D s ror mr

am X ar — V' a"rxV am$.

Or (p. 45), le produit de ces radicaux est égal à l^anr+ras , expression qui , d’après déf. 24 , se met sous la forme

nr-f-ms nr ms n s

CL ,nr — Ctmv mr — CL 111 r.

2° On a aussi

n » mr

am : aT — am

n » mr mr mr

Car «Si ; = 1/ - 1/

y am5

nr — ms n s

et, d’après déf. 24, = a mr = a,m r.

Cette propriété peut se déduire de la multiplication.

(n x s ns am)t — amr;

car

mais

, p. 47 , W a" )* ■= \/ ans, et la racine r de ceci est V ans ou

ns

bien , déf. 24 , anir.

Remarque. Ces règles ramènent le calcul des radicaux à celui des quantités rationnelles.

Soit, par exemple, 31/ a^b — 5 \/ «53+2 \Z~âFb>

iÆ3 i/ 3

à multiplier par 2|/ — — 4 y a-.

D’après la déf. 24, on a

y/ a*b — a*b* , ab 3 , ^/ — a-'b$.