LIVRE PREMIER
où d = a'+/?'+y' ou
donc 10x=95,6+dou=95+<i',d' étant <^0,7 et à fortiori <^t .
Ainsi x ou V' T-j-^ ll+l-^ 13 =9,5 à — près.
Si les dixièmes n’avaient pas résolu la question, on aurait été jusqu’aux centièmes , et ainsi de suite.
Remarquons ici une fois pour toutes , que la question de calculer une quantité à moins d’une unité près peut s’entendre de deux manières : ou bien on demande d’assigner deux nombres entiers consécutifs qui comprennent entre eux la quantité proposée, ou bien on demande deux nombres quelconques, entiers ou fractionnaires, qui ne diffèrent que d’une unité et comprennent entre eux cette même quantité. Dans le premier cas, on ne saurait dire, généralement, d’avance, jusqu’où il faut pousser les calculs ; dans le second , on peut , dans chaque question , fixer d’avance les opérations qui conduiront au but. C’est par rapport à ce second cas que nous démontrerons la proposition actuelle, en ayant soin, toutefois, de montrer autant que possible dans chaque exemple numérique comment il faut faire pour rentrer dans le premier cas.
2° La somme des racines de tant de nombres commensurabies qu’on voudra , peut se calculer avec un degré d’approximation voulu.
n n, n» nj
En effet, soit x—\/ a+b^ô^+l/ + 1// a* à calculer
à moins de - près.
Hx
Il suffira de calculer ' — à moins d’une unité près ; car si l’on a a
- x b et <T 5+1 ,
on aura aussi
^ . a .. , a a x + b.- et < b — — ,
c’est-à-dire que x sera compris entre deux nombres commensu-
rabies qui diffèrent de -.
algLhhe.
Or, on a
Comme le nombre des radicaux est i, il suffira de calculer chaque radical à on aura ainsi un nombre i d’erreurs, cha-
cune <^-, et dont la somme sera par suite <+.- ou 1. Or, il
est prouvé (p. 40) que toute racine d’un nombre commensurable peut être évaluée avec tel degré d’approximation qu’on veut;
Sx
donc il est possible de calculer ' — à une unité près, et x à
moins de — .
Le raisonnement qui a été fait pour prouver que le calcul de x à
^ près revient à évaluer à moins d’unité près, étant général ,
on se bornera , dans ce qui suit, à démontrer la proposition pour le calcul approché à une unité près.
3° Déterminer, à moins d’une unité, la valeur de
Cela peut se faire de deux manières. La première consiste à
calculer à une unité près, en moins, l°la somme 57—J—l^ 4529,
2° le radical 134. En effet , si Ton a V 57-4-1/ 4529 z=.a +-a ,
V/Î34 = i4-/S, a et étant 1 , on aura
a — /? sera aussi <^1 , et a — b sera la valeur cherchée , à une unité près; mais ne sachant si a — fi est positif, on ne sait pas
