LIVRE PREMIER

d’après ce qu’on vient de prouver, est égal à ah-\-bh-\-ak-\-bk; donc

(a-f-A)X est égal a

ah-\-bh-{-ak-\-bk.

Cette quantité est identique avec a- +b-+a-+b-. En effet, * n n n n

la première est le quotient de ah-\-bh-\-ah-\-b/r par n; quant à la seconde, II, h, n étant entiers, elle est égale à

ah bh ak bh

ce qu’on prouve comme pour (a+i)X— — • Or, pour multiplier une quantité par un nombre entier n, il suffît, c'omme on l’a prouvé, de multiplier chaque partie par n; appliquant

ceci à (2) , on trouvera que — , multiplié par n donne ah, etc., donc (2) est aussi le quotient de ah-\-bh-\-ah-\-bh par n; donc (2) est égal à (1) ou à (o+6)x^-^-> qui est donc aussi égal

à ou à ac-\-bc-j-ad-\-bd.

"Supposons maintenant que a, b, c, d soient incommensurables, et ^oyons d’abord le sens que présente la multiplication dans ce cas. Considérons , par exemple, V' 5 .à multiplier par 3. On sait qu’il est possible d’assigner deux nombres commensurables dont la différence soit aussi petite qu’on voudra, et qui

comprennent entre eux V' 5. Soient a, a+i, deux pareils nom bres : les produits a X 3 et (a+i)3 ou 3a et 3a+3i auront pour différence 3i, quantité qui diminue indéfiniment avec i.

Supposons que a, valeur approchée de 1^5 en moins, aille en croissant pour se rapprocher de ; que de même a+i aille en décroissant pour se rapprocher de b7 5; les deux produits 3 a, 3a+3i se rapprocheront l’un de l’autre; mais le premier

ALGEBRE.

restera toujours plus petit que chaque valeur du second , et celui-ci sera toujours plus grand que chaque valeur du premier. Donc entre 3 « et 3a-f~3/, il existe une grandeur invariable dont ces deux produits se rapprochent indéfiniment. Il ne peut en exister qu’une; car s’il y en avait deux, m, toutes les deux invariables lorsque 3 a, 3a-f-3i se rapprochent l’un de l’autre, il est clair que m et m-+-h devant être compris entre 3 a, et 3a-f-3«, leur différence h devrait être plus petite que 3 i; donc 3i, différence de 3 a et 3ce— f— 3r, ne pourrait pas devenir moindre que h, ce qui est absurde.

*Cela posé, c’cst celte limite commune de 3a, 3a+3< qui est ce qu’on appelle le produit de VÜ par 3.

"Si l’on considère deux facteurs incommensurables, comme 1^5 et 1^7 , leur produit est une grandeur, limite commune des produits qu’on obtient 'en multipliant des valeurs approchées des facteurs V' 5 et V^î. • •

"■-Maintenant on reconnaîtra que dans les raisonnements faits plus haut, rien n’empêche de supposer a et b, incommensurables; il ne reste donc à traiter que le cas où c et d sont incommensurables.

*Or, soient a‘ , b‘ , c‘ , d' des nombres commensurables, plus petits que a, b, c, d respectivement; soient a", b" , c“, d“ des nombres commensurables- plus grands que a, b, c, d , de façon que a" — a‘, b“ — b‘ , etc., soient infiniment petits1.

*Lc produit (a-\-b) ( c-\-d ) est compris entre

el (rt/'i é'/)(c,M-d")=«/'c,/-f-ô//c"-+-a"d"+6"d". (n)

* Mais ac est aussi compris entre a 'c' et a“c“, dont la différence est infiniment petite; de même bc l’est entre b‘c‘ et b“c“ , etc.; de sorte que ac-\-bc-+-ad~{-bd est compris entre {m) et (n), tout comme (a-\-b) (c+d); or, la différence entre (n) et (m) est infiniment petite, donc les deux nombres invariables compris entre (m) et (n) sont égaux; donc («-(-6) (c-t-d)=ab-+-bc-+-ad-\-bd. 2° Soient maintenant deux polynômes quelconques; soit dans

1 J’ai établi dans ma Géométrie élémentaire , livre 3, les premiers principes de la théorie des infiniments petits. En faveur des lecteurs , qui ne possèdent pas cet ouvrage, on les a réimprimés à la fin do cette algèbre.