LIVRE PREMIER
la condition ~~jÿl “ <C ^ ou aft + ba
- peut être remplie d’une infinité de manières; on peut, par exemple rendre chacune des quantités a(i, ba , moindre que la moitié
yb *
de -r- , etc.
Actuellement, toutes les fois que l’on combinera par addition, soustraction , multiplication , division , des quantités comme A , A', etc. , B , etc. , le résultat se réduit à une fraction telle que
jjj. Donc la prop. 49 est démontrée.
Remarque. Parmi les expressions fractionnaires, il y en a dont le dénominateur peut être rendu rationnel. Telles sont les suivantes :
1® —7= — ; on multiplie les deux termes par P7 b — P7 c; or,
a (P7 b — V' c) «P7 b — al/ c
donc la fraction devient ou ;
de même
a a (l/ b-\- P7 c) aJ/Â-f-aP7 c
Vb-V~c ~ (P/5 P/c) (P7 Â-f-l/c) “
2° — — — ; multipliez les deux termes par
Vb^/c^yd
p/54-P/c-P/d, le dénominateur devient
\(y b+y c)+y d\ \(y b+y e) d\ ou (l b-h^ c)2— ci = 6— I— C — d+2^ bc;
représentons ce dénominateur par e-f-2l/ bc et le numérateur par h; la fraction devient
• e-|-2l/ bc
elle rentre dans le premier cas; on rendra le dénominateur rationnel en multipliant par e — 2P7 bc.
AEckiiRE.
3’ Vk^ùydjy~e ' "“l,i(,liei"r
Vb+i/c) (i /^ye) -,
soit p ce qui devient Je numérateur ; le dénominateur devient
(\Zd-+y/^) » = é+c-d-e+2»/é7-2l/*.
Ainsi la fraction prend la forme J= r== et rentre
q+ÎVbc-'A' de
dans le second cas.
4° Posons l7^ b—b‘ÿ c — c1. Il est démontré (p.22)
Vb-V'c
que (b'—cf) (b‘m-' -4-6'D-*c' + ...-hc",-,)=6'n— cm;
Donc si l’on multiplie les deux termes de la fraction par bm— * -f- b'n— le dénominateur se changera en
b'" — cm ou en b — c ; car de V b — b\V c — c‘ , on déduit b = b'", c = cm.
Si l’on a - ,
\/ b°-' 4- y' bu~'c + . . . -4- P7 C"-1
on multiplie les deux termes par I / b — l/c, et le dénominateur devient encore rationnel , et égal à b — c.
5° — Si n est pair, on multiplie par •
y' bn-' — V b"-’,c+ . . . — V <*-'
et l’on aura pour dénominateur b — c.
Si n est impair , on multiplie par
y'b^— v/bn-tc + . . . + VlF-'
et le dénominateur devient è+c. (p. 22).
PROPOSITION t. — THÉORÈME.
Toute racine de degré impair , d’un nombre positif ou négatif , a une valeur de même signe que ce nombre ; toute racine de
L1VBE PREMIER.
degré pair d’un nombre positif a deux valeurs égales et de signes contraires ; enfin une racine de degré pair d’un nombre ou symbole négatif n’est calculable ni exactement ni par approximation.
l°Un nombre positif élevé à une puissance de degré impair donne un résultat positif, et un nombre négatif traité de même donne un résultat négatif : ainsi
( — 3)3= — 3 X — 3 X — 3 r=9 X — 3 — — 27 , et en général (a)*”-*-'=(— «)”x- a; or (— a)3" = ((— a)3)n = (<z3)" :=a3B ; donc ( — a)3”-*-' =a’”X — a~ — a,n-H Donc réciproquement
an-H 21H-1
V' -f- = -f- a et b7 — a3"-*-1 = — a.
2° Si l’on élèveau carré -\-a ou — a, on trouveégalement-j-a’, en général
(-4-a)’”= ((-+-a)3)n = (a3)" = a3" et (— a)3B= ((— a)3)n = (a3)n = a3".
an
Donc réciproquement l/a3” est égal, soit à -\-a, soit à — a, puisque chacune de ces deux valeurs , élevée à la puissance 2re reproduit a3”.
3“ Enfin il n’existe aucun nombre, soit positif, soit négatif, qui élevé à une puissance de degré pair, reproduise un nombre négatif : car on vient de voir que -f-a ou — a, à la puissance 2n, donnent des résultats positifs. Donc si l’on considère tous les nombres imaginables, positifs et négatifs, on n’en trouvera aucun qui, élevé à une puissance 2n , donne un nombre négatif.
Ainsi les expressions telles quel/ — 4, SF — 6, —a3, ne sont
calculables ni exactement ni par approximation : ces sortes de symboles se nomment des imaginaires par opposition aux expressions calculables, commensurablcs ou non, qu’on appelle des quantités réelles.
Remarque. Le calcul des radicaux n’a été établi que pour le cas où les quantités placées sous le signe radical sont absolues; toutes les fois qu’il s’agit d’indices impairs, on peut aussi supposer que ces quantités sont négatives.
De plus la prop. 49 subsiste également, lorsqu’il y a des radicaux d’indice impair, affectant des quantités négatives.
PROPOSITION LI. — PROBLÈME
Extraire la racine carrée d’un polynôme et reconnaître s’il est un carré parfait.
Représentons par A-t-B-f-C-j-D-f- etc. , le polynôme ordonné suivant les puissances décroissantes d’une lettre x , soit a H- b +<;-(- d + etc. , sa racine carrée inconnue , ordonnée de même; il faudra que le carré de cette racine soit identique avec le polynôme proposé. Or, dans le produit de deux polynômes ordonnés , le produit des premiers termes des facteurs forme le premier terme du produit (p. 9) : donc, dans le produit de a-t-ô-f-... par lui même, le produit de a par lui même, c’està-dire a a est le premier terme A du carré : donc on trouvera a en extrayant la racine carrée de A. Actuellement regardons la racine a-j-ô-j-c... comme composée de deux parties, la première a , la seconde 6-t-c + etc. : le carré peut se mettre sous la forme
[«-+-(ôH-c+d+. . .)]* = aa-J-2a(6-t-c-|-</ . . .)-f-(M-c-|--d.. .)a =
A — f- B — j— C — {— etc. ;
si l’on fait abstraction du terme a’ ou A , le reste est
2a(ô— c— {— d • • . ) “f- (Jb f ~c~- \-d—\- ■ • . )a — B — {— C— f— D , etc.
Or , je dis que le premier terme de ce reste ordonné est 2 ab. Car le premier terme de 6-+-c-|-d+... étant b, celui de 2a (6-f-...) est 2 ab et celui de (6— J— c— H • • •)’ est ^* > mais a étant, par rapport à x, d’un degré supérieur à b, '2axb sera aussi d’un degré plus élevé que bxb ou 6a; donc 2ai est le premier terme du reste : ainsi B, premier terme du reste , est égal au double produit du premier terme a de la racine par le second b, et on trouvera b en divisant le premier terme du reste par 2a.
En général après avoir trouvé à la racine un certain nombre de termes, on fera le carré de la racine trouvée; on ôtera du polynôme donné ce carré, et on divisera le premier terme du reste par 2 a , double du premier terme de la racine : le quotient sera un nouveau terme de la racine.
En effet, supposons qu’on ait trouvé à la racine la partie a-f-ô-j-c-l-d-f- . . . , et soit , etc. , la partie inconnue : re-
