EXEMPLE

9x< — 1 2x3y-f-28x,y1 — 16xy3-|-16y'' 3x* — 2xy+4y’

— 9x^4-12x3y — 4x’y‘ 6xa

» -f-24xy*

— 24x’y’-(-l 6 xy3 — 1 6y4 » » »

Le polynôme étant ordonné par rapport à x , on prend la racine carrée de 9x< : c’est 3x% pour le premier terme de la racine; on divise le second terme — 1 2x3y du polynôme, par 6x% double du premier terme 3x’ de la racine; le quotient — 2xy est le second terme de la racine. Faisant le carré de 3x’— 2xy , et le retranchant du polynôme donné , on a un reste dont le premier terme est +24x'-'y1 qu’on divise encore par 6x* ; le quotient -|-4y* est le troisième terme de la racine. Au lieu de faire le carré de toute la racine on remarquera que ce carré peut se mettre sous la forme

(3x* — 2xy)’-f-.2(3xa — 2xy). 4y’4-(4ya)a or, le carré de 3x’ — 2xy ayant déjà été soustrait , il suffira d’ôler du reste les deux autres parties 2(3x* — 2xy)4ya-f-(4y’)*, c’est-àdire le double produit des deux premiers termes de la racine par le troisième, et le carré de ce troisième terme. Cette soustraction donne pour reste zéro. Donc le polynôme est un carré parfait.

Ainsi pour extraire la racine carrée d’un polynôme, ordonnezle par rapport à une lettre ; extrayez la racine carrée du premier ternie , et divisez le second par le double de cette racine , vous aurez ainsi les deux premiers termes de la racine. Du polynôme proposé retranchez le carré du binôme trouvé à la racine, et

ALGEBRE.

divisez le premier terme du reste par le double du premier terme de la racine; le quotient sera le troisième terme de la racine. Du reste, soustrayez le double produit des deux premiers termes par le troisième et le carré du troisième ; divisez le premier terme du nouveau reste par le double du premier terme de la racine , ce qui donnera le quatrième terme de la racine, et ainsi de suite jusqu’à ce qu’on arrive à un reste nul, ou qu’on puisse affirmer que le polynôme n’est pas un carré parfait, ce qui se reconnaît par le caractère suivant.

Toutes les fois que, les exposants de la lettre d’ordre allant en décroissant, il se présente à la racine un terme où l’exposant de la lettre d’ordre est plus petit que la moitié du plus petit exposant de cette lettre dans le polynôme donné, on est certain que ce polynôme n’est pas un carré; car s’il était un carré, la règle précédente devrait donner sa racine : or, soit Gxu le dernier terme du polynôme donné; le dernier terme de la racine devrait

renfermer x 5 , puisque le produit des derniers termes de plusieurs facteurs forme le dernier terme du produit. Mais par hypothèse on a trouvé à la racine un terme où a: a un exposant

moindre que et si l’opération pouvait se terminer, comme la

racine est ordonnée, le dernier terme renfermerait à fortiori x avec un exposant moindre que -; donc elle ne se terminera pas

cl le polynôme n’est pas un carré.

Tout ce qui a été démontré dans celte proposition convient au cas où les coefficients de la lettre d’ordre sont eux-mêmes des polynômes , les exposants de cette lettre étant d’ailleurs entiers , fractionnaires, positifs ou négatifs.

Remarque. Un binôme ne saurait être un carré; car le carré d’un monôme est un monôme, et le carré d’un binôme

étant A’^m+«ABxm+'H-B’.r’n ,

ne saurait avoir moins de trois termes, vu que les exposants 2m, m-f-n, 2n sont différents si m^>n, comme cela est entendu. Le carré d’un polynôme qui a plus de deux termes , contient à fortiori plus de deux termes.