LIVRE PREMIER

Exemple. La racine carrée de

2a6-f-A*)+ar3(2a3— 263)-f-x,(3ni4-3a,A*+3i<)+ xf^a^-y-^a^b-y-Ha^b7 — 2 a’’ b3 — 2ab* — 2Ô‘)

est x 7(a — ky^x(a,-\-ab-\-b')-\-ii? — 6’.

proposition lii. — problème.

Extraire la racine m d’un polynôme.

Soit A— +— B— |— C— f— . . . . le polynôme proposé ordonné suivant les puissances décroissantes d’une lettre x; <x-|-6-f-c-t-, etc., la racine cherchée, ordonnée de même. Il faudra que (a-+-6-f-e+)ra soit identique avec A+B-I-C+, etc. Or, en vertu de la proposition 9, le premier terme de (aH-ô-j-c-j-....)™ sera am : donc

rn

am~ A — et A. Ainsi le premier terme de la racine est la racine m du premier terme du polynôme. Faisant abstraction de ce terme A, on a le reste B-f-C-(- ....; et je dis que B, premier terme de ce reste est égal à mam—'b. En effet, on a

(o-j-i-HH-- • • •)" = • ••)]”.

et d’après la formule du binôme

=fl”+ma"-'(li+c+ . . .) -+- — m9T— - a’°-J(fc+c+ . . .)*+.. . .

-+-P„a»— (6-HH )"+ h (ô-hc+....)m

Si de ce polynôme on retranche am, le reste exprime B-f-C-)-...; or, considérons les premiers termes des différentes parties de ce reste, abstraction de leurs coefficients numériques m, etc., P„. La quantité 6— |— c— f— . ... étant ordonnée , les premiers termes des différentes puissances de cette quantité, sont respectivement b , b7 b° ..... bm ....; ainsi les premiers termes des diffé-

rentes parties du reste sont am—b, am—7b7,....am—nbn....

. Supposons n 1 ; a"'— "b" pourra représenter tous ces termes ,

excepté am—'b; mais pour montrer que am—'b renferme x à un degré plus élevé que <f"~ "b", il n’y a qu’à diviser le premier par le second , ce qui donne

am- 'b a"—'

ALGksnit.

Ici, a étant de degré plus élevé que b, an—‘ sera aussi de degré plus élevé que 6“— 1 ; donc il en est de même de am—‘b par rapport à am~Dbu, vu que cès deux dernières quantités résultent des précédentes moyennant la suppression d’un facteur commun.

Donc mam—'b est le premier terme du reste; ainsi divisant donc B par le facteur mam-', on a le facteur b, second terme de la racine.

Supposons maintenant qu’on ait trouvé à la racine les termes

a-f-è-f-c et qu’il reste à chercher {- posons

u->rb-\-c. ... = R, a+/9-h.... = S; la racine sera R-t-S, et le polynôme donné sera (R-(-S)m =

= R"'-f-mRm— 'S-j- .... H- PnRm— ....+S'"

Si l’on retranche R”, c’est-à-dire la puissance m de la racine trouvée, on a pour reste

mRm-'S-(-.

Or les premiers termes

de R"'— 1 ...

. Rm-B...

sont respectivement

am-‘ ...