LIVRE PREMIER
donné par rapport aux exposants décroissants de x. Car soit JCr" le dernier terme de oe polynôme supposé une puissance m parfaite. Ce terme doit être la puissance m du dernier terme de
la racine: donc à la racine, — doit être le plus petit exposant
de x. Si donc l’opération donne un exposant moindre que — ,
ni
c’est que le polynôme donné n’est pas une puissance m parfaite. Exemple. La racine cubique de
48ax5-+1'20a2x*-160a3i3-hl20a4x-— 48a5x-Mtafc|-2.E-— 4ar-+-2a2 — 8x&-+-48aa:5— 96a2x*+64a3j;3 |t2x*
— 24a?x4-l-96a:îx3— 120a4x--i-48a5x— 8a6
La racine du premier terme 8 a;1’ est 2 a:’ ; divisant le second terme — 48 ax’ , par m fois la puissance m — 1, c’est-à-dire par trois fois la puissance 2 du terme 2x’, ou par 12a?4, on a — 4axpour second terme de la racine. On forme le cube de la racine trouvée 2a:’ — 4ax, et on le retranche du polynôme proposé. Le reste est +24a’a?4 — etc.; on divise le premier terme de ce reste encore par 12a:4, le quotient 2a’ est le troisième terme de la racine. Actuellement on fait le cube du trinôme trouvé : ce cube peut être écrit ainsi
[(2a:’ — 4aa:)-f-2a’]3 =
(2a:’ — 4ax)3-j-3.(2a:’— 4aa?)’.2a’+3(2ar’ — 4ar).(2a,)’-|-(2a'')3.
Or, comme on a déjà ôté (2a;’ — 4aa:)3 , il suffit de retrancher du reste encore les trois autres parties. Cette soustraction donnant elle-même pour reste zéro , il s’ensuit que la racine cubique est exactement 2x’ — 4aa:-(-2a’.
PROPOSITION UII. — THÉORÈME.
Les puissances entières positives d’un nombre plus grand que l’unité augmentent avec l’exposant et peuvent devenir aussi grandes qu’on veut ; ses racines diminuent si l’indice augmente et peuvent s’approcher de l’unité d’aussi près qu’on veut , sans pouvoir devenir égales ni inférieures à 1.
ALGEBRE.
Soit a un nombre absolu 1; posons « = !•+•&, 6 étant positif.
1° On aura ( l -hh)“ = 1 +f»H- • • • • -f-6m
Or, puisque a 1 , on a aXa>lXa ou«’^>«, n’X<C>ax« ou a3 ^>«’, etc.; donc les puissances de a croissent avec l’exposant. Pour reconnaître que am peut devenir plus grand que toute grandeur donnée, il suffit de remarquer que am renferme le terme mb qui peut être rendu plus grand que toute grandeur donnée, quelque petit que soit b: car il est proportionnel & m, de sorte que si ni augmente indéfiniment , il en sera de même de 6m.
in m
2 •Va sera 1 ; car si a était égal à l , a qui est sa puis-
sance m , serait aussi 1 ; et si V' a était égal à une quantité a3 1,
on aurait a” a1, a'3 a'1 < ' a', etc.; enfin, alm ou a 1.
Donc Va 1. En second lieu , je dis que
iu-f-i m
Va Va. .
Car en réduisant ces deux radicaux au même indice, on a
ce qui est vrai , vu que an a’M-1, comme on l’a prouvé plus haut.
Enfin , soit 1+d un nombre qui diffère très-peu de l’unité , d étant positif ; je dis qu’on peut prendre m assez grand pour qu’on ait
Va l-+-d ou a
Et, en effet, on vient de prouver que, quelque petit que soit d, ou peut prendre ni assez grand pour que (l+d)m soit plus
grand que toute grandeur donnée a; donc Va peut devenir . 1-M, quelque grand que soit a et quelque petit que soit d.
