LIVRE PREMIER

PROPOSITION UV. — THEOREME.

Les puissances d’un nombre absolu 1 diminuent indéfiniment , si l’exposant augmente ; les racines d’un nombre 1 augmentent avec l’indice, sans pouvoir devenir ni égales ni supé- • Heures à 1.

1 Soit a un nombre 1 , on aura

axa<^ixa ou a'<fa , a'Xa^aXa ou a3<^a, etc.;

ainsi les puissances diminuent si l’exposant augmente.

Soit a — , b étant positif ; on aura

or, on peut prendre in assez grand pour que (1+6)™ soit plus grand que tel nombre k qu’on voudra ; donc ^ , ainsi que

«™, sera plus petit que -, quelque petit que soit

2 * /a sera <(1 , sans quoi a )™ serait égal ou supérieur

nH-1 m

à 1. D’ailleurs I /^a sera )> a , ce qu’on reconnaîtra aisément.

Enfin, pour prouver que 1 — V' a peut être rendu aussi petit

qu’on veut , posons encore a — -j— y ; V a sera = — .

Or, on a prouvé que V' 1+6 peut différer de l’unité d’aussi

peu qu’on veut;l/ 1+6 peut donc être représenté par 1-4+ d étant

aussi petit qu’on veut, et 1— Va sera 1— yj-y , ou -yy,

in

quantité moindre que d; donc l — 1 / a peut être rendu plus petit que toute grandeur donnée.

ALGÈBRE