LIVRE PREMIER

le multiplicande, A la somme des termes additifs, B la somme des termes soustractifs, pris en valeur absolue, de sorte que le multiplicande sera A — B; supposons le multiplicateur représenté semblablement par C — D, C et D étant des valeurs absolues. Je dis que (A— B) (C— D)=AC-BC— AD+BD.

En effet, soit A' la différence A — B, de sorte que A=A'+B; soit C' la différence C — D; on aura aussi C=C'-1-D. Il vient, A.C'= (A'-f-B). C'=A'C'+BC',

Donc A'C', l’une des parties, sera égale à AC' — BC'.

Puisque C=C'-f-D, on a A.C=AC'-f-AD ; donc AC'=AC — AD.

De même BC'=BC — BD; donc le produit A'C', ou AC' — BC' est AC — AD — (BC — BD) ou (p. 3) AC-AD-BC+BD;

C’est-à-dire que (A — B) (C — D)=AC — AD — BC-f-BD.

Ainsi, après avoir décomposé les deux facteurs sous la forme A — B, C — D, on multipliera chacun des polynômes A et B par chacun des polynômes C et D, tous ces polynômes ne contenant que des termes additifs; on ajoutera les produits AC, BD et de leur sbmme on retranchera AD et BC. Par conséquent

1° Tous les termes de AC auront au produit le signe et ces termes proviennent de termes qui ont le signe -f- dans les deux facteurs.

2° Tous les termes de BD ont le signe -f- , et ils proviennent de tertnes qui ont le signe — dans les deux facteurs.

3° Les termes de AD et de BC ont le signe — , et ils proviennent de termes affectés de signes contraires dans les deux facteurs:

Corollaire t. On pourra dans la pratique multiplier les deux polynômes terme à terme sans les mettre sous la forme A — B, C — D. Il suffira de donner à chaque terme du produit le signe convenable.

Remarque. Ce qu’on vient de prouver constitue la règle des signes dans la multiplication. On l’énonce*sous forme abrégée en disant : -f- par -+- donne par — donne — ; — par -+-

donne — , et — par — donne -+-; ou encore: les signes semblables donnent -f- , les signes contraires donnent — .

Corollaire 2. Puisque a(ô-)-c) = ab~\-ac et que a(b — c ) = ab — ac, quels que soient a, b, c, il s’ensuit que des termes

ÎO

ALGÈBRE

semblables , à coefficients quelconques , entiers ou non , se réduiront toujours en un seul d’après la proposition 1. Car soient Ma362, ±Na3#2 ces termes : on a

Ma3£2±Na3#2 — (M±N) a362 ;

ainsi on ajoute N à M, ou on l’en retranche, selon le signe de N.

* PROPOSITION V. — THÉORÈME

Un produit ne change pas de valeur si l’on change l’ordre des factçurs.

Cette proposition , qu’on démontre en arithmétique pour des facteurs commensurables , doit être établie ici pour le cas des facteurs incommensurables.

Soient a, b , c , d, e , etc., des facteurs incommensurables, en totalité ou eh partie. Je dis qu’on a

axbxcxdxex , etc. = bXcXaXeXdx, etc.

En effet soient a', b', c' , d', etc., des nombres commensurables qui diffèrent infiniment peu de a, b, c, d, respectivement ; il est prouvé que • .

a'xb’xc'xd’xe'x, etc.=:6'Xc'X«'Xe'Xd'X,etc.

Or; le premier de ces produits diffère infiniment peu de • axbxcxdxe , etc. , et le second de bXcXaXeXdx , etc. ; donc ces deux derniers sont égaux. On raisonne de même pour tous les cas.

* PROPOSITION VI. — THÉORÈME

Multiplier une quantité N, par un produit de plusieurs facteurs a, b, c, etc. , revient à la multiplier successivement par ces facteurs , et réciproquement.

Soit p=axbxcx ; d’après la proposition S on a .

Nxp = px N ou = axbxcx, etc. , xN.

Intervertissant, Nxp =:NxaXéXcX, etc.

PROPOSITION VII. — THÉORÈME

Le produit de deux monômes est égal au produit des coefficients, multiplié 1° par les facteurs littéraux communs, affectés chacun d’un exposant égal à la somme de ceux qu’il a dans les deux monômes ; 2° par les facteurs littéraux non communs , pris avec leurs exposants respectifs.