LIVRE II. CJ

la somme des exposants des inconnues est n, et qu’elle ne contient aucun terme d’un degré supérieur à n.

Définition 2. Résoudre line ou plusieurs équations, c’est chercher des expressions , numériques ou algébriques , qui , substituées à la place de ces inconnues, rendent les équations identiques. Ainsi , l’équation

Sar+2 = 32'

est rendue identique par la valeur x=.R-, car elle devient ’ 5x6+2 = 32 ou 32 = 32.

Remarque. On distingue une classe particulière d’équations du premier degré qui sont assujetties à des règles de transformation et de résolution fort simples, et sont en même temps trèsimportantes par leurs applications. Ces équations se nomment des proportions.

Définition 3. Le rapport arithmétique de deux quantités consiste dans la différence de ces deux quantités. Ainsi a — b est le rapport arithmétique de a et b. On indique aussi ce rapport par la notation a . b. Le premier terme a, se nomme antécédent , le deuxième, b , est appelé conséquent.

Il est évident que la valeur du rapport ne change pas si l’on ajoute à chaque terme une même quantité positive ou négative. Car le rapport de «+d à b-\-d est a — b , comme celui de a à b.

Définition 4. On nomme proportion arithmétique ou èquidifférence l’égalité de deux rapports arithmétiques. Si les deux différences a — b , a‘ — b ' sont égales, on aura l’équidifférence a — b — a‘ — b‘, qu’on écrit aussi sous la forme a . b : a' . b', a est le premier antécédent, b le premier conséquent, a‘ le second antécédent, b ‘ le second conséquent; a et b' se nomment aussi les extrêmes, 6 et a' les moyens.

Si les moyens sont égaux, la proportion est dite continue.

PROPOSITION I. — THÉORÈME

Dans toute équidifférence , la somme des extrêmes est égale à la somme des moyens.

Soit a-+-d le premier terme, a le second, b-\-d le troisième, b le quatrième, on a

La somme des extrêmes est a-\-d-{~b, celledes moyens a-\-b-\-d, donc, etc.

Remarque. Si l’on considère deux rapports arithmétiques inégaux a-\-d . a et b-\-d' . b , la somme des extrêmes a-\-d-\-b n’est pas égale à celle des moyens a-\-b-\-d'.

Corollaire. Connaissant -trois termes d’une équidifférence, on saura trouver le quatrième. Car si le terme inconnu est un extrême, on n’aura qu’à faire la somme des moyens et en retrancher l’extrême connu; si le terme inconnu est un moyen, de la somme des extrêmes on retranchera le moyen connu ; le reste sera le terme inconnu.

Dans une équidifférence continue, la somme des extrêmes est égale au double du moyen; donc le moyen est égal à la demisomme des extrêmes.

Définition 5. Le rapport géométrique , ou simplement le rapport , de deux nombres abstraits , est le quotient de l’un par

l’autre. Le rapport de a à b est ^ ou a : b; a est l’ antécédent , b

est le conséquent. — Le rapport de deux nombres concrets est un nombre abstrait, tel que le produit du second nombre concret, par ce rapport, est égal au premier nombre concret: c’est donc encore le quotient du premier par le second.

On peut multiplier ou diviser les deux termes d’un rapport par un même nombre (1. 1 , p. 13).

Définition 6. L’égalité de deux rapports forme une proportion géométrique , ou simplement proportion. Si les deux rapports

- , -p sont égaux , on aura la proportion

-7— r- ou a: b :: a‘ : b‘.

■ Les termes portent les mêmes noms que dans l’équidifférence.

PROPOSITION II. — THÉORÈME

Dans toute proportion, le produit des extrêmes est égal à celui des moyens,