LIVRE II

Soit q la valeur du premier rapport qui pourra être représenté par aq : a ; puisque le second rapport est égal au premier, on peut l’écrire ainsi bq : b , et la proportion sera aq : a :: bq : b.

Le produit des extrêmes est baq , et celui des moyens abq ; donc ces produits sont égaux.

Remarque. Soient deux rapports inégaux écrits à la suite l’un l’autre, aq : a , bq ' : b ; le produit des extrêmes abq n’est pas égal à celui des moyens abq'.

Donc une proportion est exacte toutes les fois que le produit îles extrêmes est égal à celui des moyens.

D’après cela, la proportion aq : a :: bq : b peut s’écrire de sept autres manières.

On peut permuter les moyens, permuter les extrêmes, permuter encore les moyens; mettre les moyens à la place des extrêmes, et réciproquement, puis faire encore les mêmes permutations. On a ainsi les huit formes

aq : a : : bq.: b ; aq : bq : : a : b ;

b : bq :: a : aq ; b : a : : bq : aq ;

a : aq : : b : bq ; a : b : : aq : bq ;

bq : aq : : b : a ; bq : b : : aq : a.

Corollaire 1. Si dans une proportion il y a un extrême qui est inconnu , on le trouvera en divisant le produit des moyens par l’extrême connu. De même un moyen est égal au produit des extrêmes divisé par l’autre moyen.

Car si les deux moyens sont égaux , cas où la proportion est dite continue, le produit des extrêmes est égal au carré du moyen, et réciproquement, le moyen est égal à la racine carrée du produit des extrêmes.

Corollaire 2. Puisqu’une proportion est exacte si le produit des extrêmes est égal à celui des moyens, on pourra , dans toute proportion : 1° multiplier ou diviser un moyen et un extrême par un même nombre; 2° multiplier un extrême et diviser l’autre par un même nombre; 3° multiplier un moyen et diviser l’autre par un même nombre. Car aucune de ces opérations ne troublera l’égalité entre le produit des extrêmes et celui des moyens.

ÎOO

ALGÈBRE

PROPOSITION III. — THÉORÈME

Si dans deux proportions il y a un rapport commun , ou si deux termes de rang impair ou de rang pair sont communs , les ternies non communs formeront une proportion.

1° Soient les proportions a : b :: c : d a : b :: c‘ : d‘

qui ont le rapport a: b commun; il s’ensuit que, chacun des deux rapports c : d , c1 : d1 étant égal à ce rapport a : b, ces deux rapports sont égaux entre eux , et l’on a c : d :: c‘ : d'.

2° Supposons que deux proportions aient les mêmes antécédents : a : b :: c : d et a:b'::c:d‘

permutant a : c : : b : d et a : c :: b‘ : d'

et d’après le cas précédent, b : d :: b' : d‘ ; donc les conséquents sont proportionnels.

3° Si les conséquents sont communs ,'ou si les antécédents de l’une des proportions sont les conséquents de l’autre, on raisonne de même.

PROPOSITION IV. — THÉORÈME

Vans toute proportion aq : a : : bq : b , on a

maq-y-m'bq : naq~\-n‘bq :: ma-\~m‘b : na-i-n'b.

‘ Car cette proportion revient à

q(ma-\-m'b) : ma-\-m‘b :: q(na-yn'b') ; na+n'b

et sous cette forme elle est évidente, puisque chaque rapport est égal à q.

Corollaire 1. Supposons m = n = l, m'=±l, et n'=o, on a aq±bq : aq :: a±b : a ou aq± bq : «±& :: aq : a , c’est-à-dire que dans toute proportion la somme ou la différence des antécédents est à la somme ou à la différence des conséquents, comme un antécédent est à son conséquent.

Corollaire 2. Faisons m—m'—n— 1 , n‘=. — 1; il vient aq-+-bq : aq — bq :: a-\-b : a — b.

loi

Ainsi la somme des antécédents est à leur différence, comme la somme des conséquents est à leur différence.

Corollaire 3. Comme rien n’empêche de permuter d’abord les moyens dans la proportion primitive, on peut conclure aussi :

•1° Que la somme ou la différence des deux premiers termes est à la somme ou à la différence des deux derniers , comme le premier est au troisième , ou comme le second est au quatrième ;

2° Que la somme des deux premiers est à leur différence , comme la somme des deux derniers est à leur différence.

Remarque. Dans toute série de rapports égaux , la somme des antécédents est à la somme des conséquents , comme un antécédent est à son conséquent.

Car soit q la valeur commune de ces rapports; la série des rapports pourra s’écrire ainsi :

aq : a : : bq : b :: cq : c :: dq : d

Faisant la somme des antécédents et celle des conséquents, on a, d’une part,

(a-+-b-\-c-\-d- 1-, etc.) q , de l’autre a-\-b-\-c-\-d-\- , etc., quantités dont le rapport est encore q ; donc (a-\-b-\-c-\-d-+-...)q :a+&-HH-d-|-... :: aq:a ou :: bq: b :: etc.

PROPOSITION V. — THÉORÈME

Si l’on multiplie terme à terme tant de proportions qu’on voudra , les produits seront en proportion.

Soient les proportions

aq : a :: bq : b a'q‘ : a‘ :: b'q' : b‘ a“q“ : a“ :: b"q‘\: 6"

Multipliant, on a aa'a"...qqlq“:aa'a"...::bb‘b“...qq'q"...:bb‘b".

Ces deux rapports étant égaux, chacun à qq'q" ...., sont égaux entre eux, et la proportion est exacte.

Remarque. Si l’on a aq : « ; : bq : b, on aura évidemment a°q n : «n : : b"q “ : 6” ;

car chacun des deux rapports est égal à qn.

ion

aluLbue.

n non

On aura de même V' a. q •.V' a \ :\/ bq : b.

Ainsi on peut élever à une même puissance les termes d’une proportion , ou en extraire des racines de même indice.

PROPOSITION VI. — PROBLÈME

Etablir des caractères , d’après lesquels on puisse affirmer qu’une question de nombres se résout immédiatement par une proportion entre les données.

Si la question ne comporte qu’une inconnue, il faut qu’elle contienne, explicitement ou implicitement, au moins trois quantités connues, puisqu’une proportion a quatre termes. Supposons d’abord que la question ne roule en effet que sur trois quantités connues. Il faut que ces trois quantités, avec l’inconnue, puissent déterminer deux rapports; or, pour un rapport il faut deux quantités de même espèce (déf. 6); donc il faut que l’une des quantités connues soit de même espèce que l’inconnue, et que les deux autres quantités connues , comparées l’une à l’autre , soient de même espèce. Cela ne suffît pas : car il faut de plus que ces deux rapports soient égaux. Or, soient a, b les deux quantités connues de même espèce, c la troisième quantité connue, x l’inconnue. La question même doit nécessairement établir une certaine dépendance entre a et l’une des quantités c et x ; supposons que ce soit entre a et c; puisque b est de même nature que a , et x de même nature que c; la même dépendance existera entre b et x. De plus, celte dépendance doit être telle, que si, sans rien changer d’ailleurs à l’étal de la question, on suppose que a se change en 2 a , 3 a, etc., ma , c devra se changer, soit en

2c, 3 c ...me, soit en ^c, -ic...— c. Car s’il y a égalité entre les 2 6 m

rapports , la proportion entre a , b , c, x est

ou a : b : : c : x ou a : b : : x : c ; et a se changeant en ma, c se changera en me dans le pre-

miercas, et en — dans le second, supposé que 6 et x ne changent pas. De même pour b et x , si a et c ne changent pas. Il est donc