LIVRE II

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prouvé que ces conditions sont nécessaires pour que la question dépende d’une proportion. Je dis qu’elles sont suffisantes; car supposons que a se changeant en ma , c se change en me ; repré-

sentons par k le rapport -, de sorte que

son entre b et x est la même qu’entre a etc, si q se change en kb qui =a, x se changera en kx qui par suite =e. Donc

c—kx = ou bien - = , c’cst-à-dire a : 6 : : c : x. b b x

Même résultat si, a se changeant en am , c devient — .

Les questions qui se rapportent à ce cas se nomment règles de trois simples.

Si la question contient plus de trois quantités connues, elle pourra se ramener à une proportion, s’il y a une quantité connue de même espèce que l’inconnue, si de plus les autres quantités connues sont 2 à 2 de même espèce, et si enfin la question se réduit à une règle de trois simple, toutes les fois qu’on fera abstraction de toutes les données excepté trois, savoir celle qui est de même nature que l’inconnue , et deux données quelconques de même espèce. Car soit m la quantité connue de même espèce que l’inconnue x ; soient a, a', b, b\ c, c\ d, d', . . . les autres quantités connues, celles qui sont désignées par la même lettre étant de même espèce.

Par hypothèse a, a m, conservés seulsdans l’énoncé forment . une règle de trois; soit ar, l’inconnue de cette règle, de sorte que x, soit la valeur que prend x , si l’on suppose b‘=b, c‘=c, d‘—d, etc. ; et supposons que la proportion correspondante soit

x, sera connu. Puisque b, b1, m déterminent une règle de trois simple, x , étant de même espèce que m, il s’ensuit que b , b1, et a;, en déterminent une , dont l’inconnue sera nommée®,;*, sera la valeur que prend x , si l’on suppose seulement c‘—c, d‘—d, etc.; soit la proportion

De même c, c'rx% déterminent une règle de trois dont l’in-

ALGkBF.E.

connue x3 est la valeur que prend x, si l’on suppose seulement d'—d, etc. , et soit

Supposons, pour abréger, que d, d‘ soit le dernier couple de quantités connues , d, d‘ et x3 déterminent une règle de trois * simple, dont l’inconnue est évidemment la valeur de x ; soit la proportion

Multipliant toutes ees proportions par ordre, on a ab'cd : a'bc'd' :: mx,x,x3 : x,x,x3x; et supprimant les lacleurs communs aux deux derniers termes, on obtient

ab'cd : a'bc'd' :: m : x.

Donc x est donné par une proportion. — Ce cas est celui de la règle de trois composée.

Que si la question comporte plusieurs inconnues , elle ne peut être résolue par une proportion seule; dans ce cas il n’y a qu’à examiner si chacune de ces inconnues peut être donnée par une proportion, ou bien si elles dépendent l’une de l’autre assez simplement, pour que quelques-unes d’entre elles, fournies par des proportions, fassent immédiatement connaitre les autres.

Corollaire.

1° Règle de trois simple.

Huit ouvriers ont fait un ouvrage en 36 jours, combien fautil d’ouvriers pour le faire en 32 jours P

Il y a un nombre connu — huit ouvriers — de même espèce que l’inconnue x; il y a en outre deux nombres connus de même espèce , 36 jours et 32 jours. Les 8 ouvriers et les 36 jours sont liés par les mêmes conditions que les x ouvriers et les 32 jours : cette liaison consiste en ce qu’un ouvrier est supposé faire toujours le même ouvrage dans un jour. Donc si , au lieu de huit ouvriers on en prend 8xm pour faire le même

ouvrage, il ne faudra au lieu de 36 jours que — . C’est donc une règle de trois simple.

Pour la mettre en proportion, on peut, pour former le premier rapport, prendre les deux quantités connues de même cs-