A LU 1: B R K

teiir 4 a’fi3; on supprimera donc ce dénominateur, ce qui revient à multiplier les deux membres par 4 a'b3, et l’on aura

8a5a;-f-l 6 a' b3 x — 10fi'; = 1 2 bsx — 3ab'*x-j-32a3b3 — 20 a' b'1.

Rassemblant les termes affectés de x , dans le premier membre , les autres dans le second , on a

8a\r-|-16a’fi3x — l2br'x-\-3ab'>x — 32a3b3 — 20a’fi'H-10&B.

. Le premier membre n’est autre chose que (8as-+-l 6rt’63H-3rt6'' — 1 2fi5) x ; divisant donc les deux membres par le coefficient de te, on a - 32<*3&3— 20fl’frH-1066

8rtr’ H-16rt;“63-f-3a6'* — 1265

ax a 3 b'x

5e Ex. — | ;

a-f-b a 2 — b* a’-j-afi

a’ — ab

7 bx a

Pour réduire au même dénominateur, on peut décomposer le second dénominateur a* — ôa en (a — fi) (a-f-fi),(l. I, p. Il); le troisième a’-t-aft en a(a~|-6), le quatrième a1 — a en «(a — 6); et comme le dernier est a, on peut prendre pour dénominateur commun le produit

a (a — fi) (a-)-fi) ou a(a’ — 6’) ou a 3 — ab'.

Cela posé, on multipliera les deux termes de la première fraction par a (a — fi), afin que le dénominateur devienne a (a — 6)(a+6); on multipliera les deux termes delà seconde par a, vu que son dénominateur est (a — 6) (a-f-fi) ; ceux de la troisième par a — 6 , son dénominateur étant a(a-)-6) ; la partie entière 3.r — 2a sera multipliée par le dénominateur commun a3 — ab*; les deux termes de l’avant -dernière fraction, dont le dénominateur est a(a — fi) par a-f-6,etceux de la dernière par (a — 6) (a+fi) ou a * — 6’; supprimant en même temps le dénominateur commun, on a

a'x(a — fi) — a^-\-b'x(a — fi) ==

(3a: — 2a) (a3 — afi’)-|-563(a-f-6) — 7 bx(a* — 6’) effectuant

a3x — a'bx — a^-f-afi’x— 63a: =

3 a3x — 3ab'x — 2a '*-^-2a'‘6’-l-5a63-(-66/, — 7 a'bx-f^J b3x ,

transposant et réduisant

Livnp. ii.

— ’2a3x-+-()tz'‘bx-\-4ab,x — Sb3x — — a1-f-2a’&î-(-5(i63-f-56’1,

— a (-Sfîb1— f-56''

clou x — .

— 2ai-(-6a,fr-|-4a6' — 8 bJ

La marche suivie dans ces exemples est applicable à tous les cas, de sorte que pour résoudre une équation du premier degré à une inconnue, il faut : 1° chasser les dénominateurs , 2° effectuer les opérations indiquées , 3° réunir dans un membre les termes affectés de x et les autres dans l’autre, et réduire,- 4° diviser par le multiplicateur de x.

Quant aux transpositions, il résulte de ce qui a été dit sur le premier exemple, que pour faire passer un terme d’un membre dans l’autre, il faut le supprimer là où il est, et l’écrire dans l’autre membre avec un signe contraire.

* Remarque 1 . Les axiomes énoncés au commencement de la proposition actuelle sont vrais pour toute espèce de nombres, positifs ou négatifs. Car si une valeur de x , positive ou négative, rend égaux deux polynômes P etQ, elle rendra aussi égales les sommes P-f-K,Q-|-K, K étant un troisième polynôme; elle rendra encore égaux les produits PxS, QxS,S étant un autre polynôme; le tout en vertu des pr. 16 et 17 du premier livre, où il est prouvé que la valeur de la somme est toujours égale à la somme algébrique des parties , etc. Donc la valeur trouvée pour x , valeur positive ou négative, rendra identique chacune des transformées de l’équation proposée, à partir de la dernière, jusques et y compris la proposée.

Remarque 2. L’exception relative au second axiome est nécessaire. En effet, il est vrai que deux quantités multipliées par zéro donnent des résultats égaux; mais l’inverse est fausse : c’est-àdire que, de ce que deux quantités multipliées par zéro donnent des produits égaux, il ne faut pas conclure que ces quantité» sont égales, attendu que tous les nombres, quelque différents qu’ils soient, multipliés par zéro, donnent le même produit, qui est zéro.

En second lieu , il n’est pas toujours permis de diviser par zéro deux quantités égales , pour conclure que les quotients sont égaux. Car on a 9(7 — 7) =2(7—7), vu que 7 — 7 étant zéro , chacun de ces produits est nul ; or, si l’on supprimait de part et