I.IVRE PREMIER

Soit 5asô2x4a2e. Multiplier par 4a2c revient au même que de multiplier par les facteurs 4, a2, c; mais pour former le produit 5 a?b2, il faut multiplier 5 par a 3 et le produit par b2; donc Ôa3ô2x4a2c = 5xa3XÔ2x4x«2Xc.

Intervertissant l’ordre des facteurs, on a 5 x4Xa3Xa2XÔ2Xc.

* Multipliant 5 par 4 on a 20, qu’il faut multiplier par a3, puis par a2, ou par le produit de ces deux facteurs. Or, d2—aXa , donc a3Xa2=«3XaXa.

Mais a3xa ou aXaXaXa c’est a4, et «4Xa est de même a5; donc a3Xa2=fl5=«3+2.

On a ainsi 20«5 qu’il faut multiplier par b2, ce qui donne 20 abb2\ puis par c, et l’on a 20 a5ô2e.

De même T aib3cxSaîb2d2~66ailficdK

Une lettre sans exposant est censée avoir l’exposant 1 : car a3xa=a4=o3-*-1.

aroônXa364 = ara-+~3.ô“-t-4 ; am — 3ôn — 3Xam-^26n ~~ 3— a2ln t~3 .ô2u ~ 4.*

PROPOSITION VIII. — PROBLÈME

Faire le produit de deux polynômes.

Soit le polynôme 4a4 — Qa2b-\-a2b2 — 7 ab2 — àô4 A multiplier par 5 a3 — 8 a2b — 4a62-f-63

f 20a7 — 30n6ô-f-ôa5ô2 — 35a4ô3 — 25a364

Produit — 1 6a5è2+24a4i3 — 4rt3ô4H-28a265H-20aA6 \ -+-4a463 — 6a364-|-a265 — 7 ab6 — 5 b1 Prod. réduit 20a7 — 62a6ô-)-37a5ô2 — 15a463-p-21a3ô4H-69a2ô5

-f-13aô6 — 567.

Appliquant les propositions 4 et 7 : 4a4 par 6 a3 donne 20a7; — 6a3ô par o a3= — 30 cfib; -+-a2b2 par 6 a3 donne Ôa5ê2; — 7 ab3 par Sa3 donne — 35a4ô3; — 5 64 par Sa3 donne — 25a?64.

On continuera de combiner ainsi chaque terme du multiplicateur avec chaque terme du multiplicande. Les différents termes du produit étant obtenus, on fait la réduction des termes semblables, et l’on obtient le produit réduit.

ALGEBRE.

On trouvera, par la meme règle, que ai~\-aib-\-ab'i-\~b‘i par a — b donne a* — b 4.

Définition 14. Un polynôme est dit ordonné par rapport aux exposants décroissants d’une lettre , appelée lettre d’ordre, si les termes sont écrits de façon que les exposants de celte lettre aillent en décroissant, d’un terme au suivant.

On ordonne de même par rapport aux exposants croissants d’une lettre.

PROPOSITION IX. — THÉORÈME

Si deux ou plusieurs polynômes sont ordonnés , de même que leur produit , par rapport aux exposants décroissants d’une lettre commune , le premier terme du produit est égal au produit des premiers termes des facteurs , et le dernier terme du produit est le produit des derniers termes des facteurs.

Considérons les deux polynômes dont on a fait le produit, prop. 8 , et qui sont ordonnés par rapport à a. Le plus grand exposant de a est 4 dans le multiplicande et 3 dans le multiplicateur. De plus, ces exposants ne se rencontrent qu’une fois, le premier dans le multiplicande, le second dans le multiplicateur. Or, dans chaque terme du produit l’exposant de a se compose de la somme de deux exposants de cette lettre pris respectivement dans les deux facteurs: donc il n’y en aura qu’un qui soit égal à 4— j— 3 ou 7 ; c’est le premier terme du produit qui le renferme , et dans tous les suivants l’exposant de a est moindre. Donc le premier terme 20a7 renfermant un exposant plus grand que tous les autres termes, ce premier terme ne se réduira avec aucun autre et restera tel au produit réduit. Donc le premier terme du produit réduit est le produit des premiers termes des deux facteurs.

En général soit un certain nombre de polynômes ordonnés par rapport àr:

1 ) kxm~y\ xm— 1-+-A xm— ' 2-|- etc. -f-A aH-À

etc -f-Bn

!-f- etc -+-C

etc.

1 Dan» , A .. . . A.m , le» signes 1 , 2. . . m se nomment des indi-