LIVRE II

lai

y tirées des deux proposées. Chacune de ces expressions devient = 3 , si l’on y fait x=4. Ainsi y=3.

Cette méthode d’élimination est la méthode par comparaison. La méthode par substitution consiste à tirer de l’une des équations données l’expression d’une inconnue , et à la substituer dans

1 autre. Ainsi ayant tire de la première y= — — — , on substitue cette expression dans la seconde, qui devient

ou

13a;6x— jq-=34

puis • 65a: — 27 £-(-18=270, d’où x—4.

Dans ces trois méthodes les opérations sont les mêmes et ne diffèrent que par la forme.

2® Soient les trois équations à trois inconnues :

4x — 6y-(-7 z=l 2 (1) 8x-(-9y — 1 lz=56

Ici on comparera une des équations à chacune des deux autres pour éliminer une même inconnue et obtenir deux équations à deux inconnues.

Les coefficients de x ayant 2 à 2 des facteurs communs, c’est cette inconnue que l’on éliminera. Pour rendre égaux les coefficients de x dans les deux premières équations , on multipliera la première par 2; on obtient ainsi

8x — 10y-f-14s=24 retranchant celle-ci de la seconde

on a 8x — 8a:-(-9y-)-10y — Hz — 143=56—24 ou 19y — 203=32. (2)

Pour éliminer x entre la première et la troisième des équa-

ALGÈBRE

lions (1), on remarquera que le plus pelit multiple commun aux coefficients 4 et 6 est 12; ainsi on multiplie la première

par— ou 3, d’où 12x — 16/+2l2=36,

la troisième par — ou 2, d ou

12#— 26/+16z= — 2 retranchant

12# — 1 2x — 1 S/+26/+2 1 z — 162=36+2 ou 1 1/+Ô2 = 38 (3)

Entre cette équation et l’équation (2), on éliminera z ; pour cela on multipliera l’équation (3) par ô , ce qui donne 55/+252=190; ajoutant avec (2), on a 19/+55/ — 252+252=32+190

ou 74p = 222 d’où/ = 3.

Pour avoir z, on substitue celte valeur de / dans (2) ou dans (3). Dans (3) on trouve

11x3+4)2 = 38 ou 52 = 5 et 2 = 1.

Enfin substituant /=3 et 2=1 dans une des équations (1), dans la première par exemple , on trouve

4# — 5x3+7x1 = 12 d’où 4# = 20 et # = 5.

Ainsi les valeurs des inconnues sont ar= 5;/ = 3 , 2 = 1.

On généralisera plus loin ces méthodes ; ici on voit que pour éliminer une inconnue entre deux équations du premier degré, on peut chercher le plus petit multiple commun aux coefficients de cette inconnue dans les deux équations : on divise ce multiple par le coefficient de cette inconnue dans l’une des équations, et on multiplie cette même équation par le quotient obtenu; on divise encore ce multiple par le coefficient de celte inconnue dans l’autre équation, et on multiplie cette autre équation par le quotient. Dans les nouvelles équations obtenues, cette inconnue aura le même coefficient au signe près; si ce signe est le même, on retranche l’une des transformées de l’autre; sinon , on les ajoute.

Problème I. Trouver une fraction qui se change en

- si l’on