LIVRE II
par suite - la
ajoute 5 à chaque terme , et en — si l’on ajoute 13 à chaque
terme.
Soit x le numérateur, y le dénominateur, et
• eff- |
fraction. Si l'on ajoute 6 à chaque terme, elle devient. -, ce
qui doit faire - ; donc
Si l’on ajoute 13 à chaque terme de — , on a
Chassant les dénominateurs, on trouve que la première équa-
jn devient
lion devient la seconde
HWW.JUV \x — 3/ — 13.
Pour éliminer y , entre ces équations, on multiplie la première par 3 , la seconde par 2 , ce qui donne
9x — 6j = — 15 8ar — 6y — — 26
Retranchant la dernière de la précédente , on a x — 11.
Cette valeur de x substituée dans 3* — 2/ = — 5 , donne
33 — 2 y — — 5 d’où 38 = 2y et y— 19.
La traction cherchée est donc — ; et en effet = — ou
=: -, tandis que
Problème II. Trouver les deux côtés d'un rectangle sachant que si Von augmente la base de 5“, et la hauteur de 4m, la surface augmente de 160'“’ , tandis que si l’on diminue la base de 6” et la hauteur de 7m, la surface diminue de 170m\
ALGEBRE.
Soit x la base , / la hauteur , xy sera la surface du rectangle. Augmentant la base x de 5“, et 1# hauteur y de 4", on a pour la surface (æ-)-6) (jr-M) ; or, elle doit être égale à la surface primitive xy, augmentée de 160",J; donc
OH-5) (jH-4) = arj-l-160.
La base étant diminuée de 6m et la hauteur de 7 , la surface sera ( x — 6) (y — 7), ce qui doit être égal à xy — 170 ; donc (x — 5) (tH-4) := xy — 170.
Effectuant les calculs, on trouve, pour la première équation ,
xy-^-4. j?7{-5j'+20 = xy- f- 160 ou Ax-{-By = 1 40 *
• pour la seconde
xy — 6j — 7ar-)-42 — xy — 170 ou — lx — — 212.
Ou encore 7 212
avec 4aH-5jiz:140.
Éliminant x llj*=132 et/=12m puis a? = 20ra.
Problème m. Un alliage d’or et d’argent pèse a kilogr.; en le plongeant dans l’eau, on trouve qu’il perd b kilogr. Mais m kilogr. d’or et n kilogr. d’argent perdent respectivement 1 kilogr. dans l’eau. Combien l’alliage contient -il d’or , et combien d’argent P
Soit x le nombre de kilogr. d’or , y le nombre de kilogr. d’argent , contenus dans l’alliage ; on aura
Puisque m kilogr. d’or perdent dans l’eau 1 kilogr., si l’on fait la proportion m : t : : x : . . .
le quatrième terme — représente ce que x kilogr. d’or perdent dans l’eau.
De même — sera ce que y kilogr. d’argent perdent dans l’eau.
Donc 1 alliage doit perdre — ; mais il perd b ; par conséquent
— ou nx+mr =: mnb .
L1VBK II.
Ainsi il faut résoudre les équations • x-h-y — a (a) nx-\~my = bmn
La première, multipliée par m, devient
— ma
De celle-ci on retranche l’éq. (a), et on trouve mx — nx — ma — bmn
ou (m — n) x — ma — bmn , d’où x ~ — bmn .
Or, de l’éq. x-\-y=a on tire y = a— x, et si l’on met pour x la valeur trouvée, on obtient
ma — bmn
ma — na — ma-j-bmn mnb — na
Problème iv. Un réservoir est alimenté par trois fontaines : les deux premières' coulant ensemble le rempliraient en a minutes ; la première et la troisième coulant ensemble le rempliraient en b minutes; la deuxième et la troisième ensemble le rempliraient en c minutes. Combien de minutes faut-il à chaque fontaine pour remplir le réservoir à elle seule?
Soient x y y y z les temps respectivement nécessaires aux trois fontaines pour remplir le bassin , dont nous représenterons la capacité par 1. — Puisque la première fontaine fournit en x minutes une quantité d’eau 1 , en a minutes elle en fournit un volume donné par la proportion
x : a :: 1 : un quatrième terme qui est
De même, en a minutes la seconde fournit - ;
or, en a minutes ces deux fontaines remplissent le bassin ; donc
ALGEBRE.
On trouve de même
et
Au lieu de suivre ici la marche ordinaire , on divisera la première équation par a, la deuxième par b, la troisième par c , puis on ajoutera les deux premières équations, et de la somme on retranchera la troisième, ce qui donnera
2 111 bc-\-ac — ab
