LIVRE II

A=0,B=:0, vérifieront aussi les équations mA-4-reB=0 , m'A-f-n'B:=0.

En second lieu , je dis que les valeurs de x , y, etc., qui vérifient ces deux dernières équations , satisfont nécessairement à A = 0, B=0, pourvu que mn' — m'n ne soit pas nul.

Car représentons /nA-j-nB par A', m'A+n'B par B', de sorte quc A'=mA+nB

B'rz/n'A-t-ra'B.

Multiplions la première de ces équations par n‘ , la seconde par n, ce qui donne

n‘A'=. mn'A-j-rare'B , nB'r^m'nA+nn'B ; et, retranchant, n'A'— nB' = (mn' —m'n) A.

On voit ici que si les valeurs de x , y, etc., annulent A' et B' (c’est-à-dire mA-|-nB et m'A-f-n'B) , elles annuleront (mn‘ — m'n ) A; or, mn' — m'n est un nombre qui n*estpas nul; donc c’est A qui le deviendra.

De même m\' — m'B' — (mn‘ — m'n) B, et les valeurs

de x , y, etc. , qui annulent A' et B;, annuleront B.

Donc toutes les solutions qui conviennent à A = 0,B = 0, satisfont à mA+«B=:0, m'A-f-n'B = 0, et réciproquement. Donc dans la recherche des solutions des équations A=0, B=0, on peut remplacer ces équations par iwAH-nFrrO, m'A-f-n'B =0, pourvu que mn' — m'n ne soit pas nuE'

Corollaire 1. Rien n’empêche de supposer m~ 1 , n — 0 , ce qui réduit mA-f-nB à A, J et mn' — m'n à n1 ; ainsi les équations Az=0, B = 0 peuvent être remplacées par

• A=0 , m'A-t-n'Bzr 0 ,

c’est-à-dire par l’une des équations proposées , jointe à une autre équation formée de l’addition algébrique de deux multiples quelconques de ces deux équations, pourvu que n', multiplicateur de l’équation B = 0 que l’on ne conserve pas, ne soit pas nul.

PROPOSITION X. — THÉORÈME

Soient plusieurs équations, telles que ax+by-f-, etc., =0, a'x-l-b'y-f-, etc,, — 0, a"x-f-b"y-4-, etc., =0, qui ne changent

ALGEBRE.

pas si l’on y remplace les a par b, avec les mêmes accents , x par y , et réciproquement ; si l’on trouve la valeur de x qui convient à ces équations , il suffira de changer dans cette valeur les a en b, et réciproquement , pour obtenir la valeur de y.

Pour le prouver, comparons les équations proposées

ax -+-6y ^ -cz + , etc. , =0

a'x -f-l» 'y-|-c ‘z -p, etc. , — 0 (1)

a ‘ 'x-\-b‘ ' -\~c ‘ 'z-|- , etc., — 0

à un second système d’équations pareilles.

mu -+-nv -| -cz -f- etc. — 0 m'u +n'v -f -c‘z etc. = 0 (2)

m“u-+-n“v-\-c"z-\- etc. = 0

qui ne diffèrent des premières qu’en ce que a, a1, b, b1, x , y, sont remplacés respectivement par m,m‘,n,n‘,u,v.

Il est évident que si l’on trouve dans les équations (2) la valeur de u , on pourra en déduire celle de x des équations (1) , en remplaçant m par a, m‘ par a', n par b, n' par b'.

Mais rien n’empêche de déduire aussi de cette valeur de u celle dey; il suffit pour cela de remarquer que les équations (2) se changent aussi en (t) si l’on y remplace v par x ; n, n ' par a, a‘\ u paryy m, m‘ par b , b‘. Donc si dans l’expression de u on remplace n, n ‘ par a, a‘\ et m, m', par b , b1 ; on aura y.

Ainsi pour avoir y au lieu de x , il suffit de remplacer m , m1 . . . par b , b‘ . ... au lieu de a , a‘ . . . , et de remplacer n, n‘ para, a' au lieu de b , b', c’est-à-dire de remplacer dans x les a par b et les b par a , avec les mêmes accents.

Remarque. Ce principe est vrai si x,y,z... entrent dans les équations à un degré quelconque.

PROPOSITION XI. — PROBLÈME

Résoudre deux équations générales du premier degré à deux inconnues.

On peut mettre ces équations sous la forme suivante:

ax by —c a‘x-+-b'y —xc'