I.IVRE II

Pour éliminer j, on multipliera la première par b1, la seconde par b , ce qui donne

ab‘x-\-bby — cb'

a‘bx-\-b‘by — bc'

retranchant ab‘x—a'bx =.cb‘—bc‘

ou x(ab‘ — ba1) — cb' — bc ' (1)

d’où

cb' — bc' cib‘ — ba1'

Pour déduire de là la valeur de y , on remarquera que les équations proposées ne changent pas si l’on change les a en b, x en j, et réciproquement, et que par suite (p. 10) il suffit do changer dans x les a en b et vice versa; on aura

c,a‘ — ac‘ ac‘ — ca‘

ba' — ab‘ °U^ ab' — ba'

Remarque 1. Dans le courant des calculs on a fait sur c et c\ les mômes opérations que sur a et a' respectivement; donc dans ces calculs le second membre de chaque équation peut être déduit du coefficient de x par le changement des a en c, et par suite le numérateur de x, qui est le second membre de l’équation (1) , peut se déduire du dénominateur qui est le coefficient de x dans cette môme équation (1), par le changement des a en c. C’est ce qui se vérifie en effet. De même pour déduire du dénominateur, le numérateur de y, il suffit d’y changer les b en c. Enfin le dénominateur commun de x et y' se forme d’après une règle très-simple. On prend les deux permutations ab et ba; on place l’accent ' Sur la dernière lettre et on interpose le signe — , ce qui donne ab' — ba'.

Le dénominateur ainsi formé , on trouve le numérateur de l’une des inconnues en changeant dans ce dénominateur les lettres qui servent de coefficients à cette inconnue, dans les termes tout connus, savoir : les a, a' pour x, et les b , b' pour y, en c, c1.

Remarque 2. Les méthodes par comparaison et par substilu lion pourraient aussi être employées ici. Il y a de plus la méthode des indéterminées, que voici :

ai.c1:brk.

On multiplie l’une des deux équations proposées, la seconde, je suppose, par une indéterminée k ,

et l’on a ka‘x-\-kt>‘y — kc‘

on l’ajoute à ax-\-by — c

ce qui donne x(a-\-ka')-\-y(b-t-kbr) = c-\-kc‘ (2)

Dans cette équation qui peut remplacer a'x-\-b'y — c1, tant que h n’est pas nul (p. 9, c. 1) , k étant arbitraire, on peut lui donner une valeur qui annule le coefficient de x ou celui dey. Pour annuler ce dernier, on pose &+/<•&' = 0

d’où If — — ~

Cette valeur étant attribuée à h, l’équation (2) devient x(a-\-ka‘) — c-\-kc 1

ou , mettant pour k sa valeur — ^ ,

/ ba‘\ bc‘

puis x (ab‘ — ba‘) ~ cb‘ — bc1 et x — comme ci-dessus. On peut de même trouver y.

cb‘ — bc‘ ab'—ba •’

PROPOSITION XII. — PROBLÈME

Résoudre trois équations générales du premier degré à trois inconnues.

On peut mettre ces équations sous la forme

(1) ax -+-by -f -cz = d

Pour éliminer z entre ces équations , on multiplie la première par c', la seconde par c; on retranche, et l’on a

(4) (ac1 — ca')x-)-(6c' — c6')y = de' — cd'

i.ivup. u.

De même on multiplie (1) par c", (3) par c, on reti-anche, cl l’on obtient

(6) ( ac ca")x-{-(bc" — cb")‘y = de" — cd"

Comme l’équation (3) ne diffère de (2) que parce que les accents ' sont remplacés par ", on peut sur le champ obtenir l’équation (5) en remplaçant dans (4) les accents ' par

Remarquons d’ailleurs que si dans tous ces calculs on prend les coefficients de x pour y changer les a en d, ou ceux de y pour y changer les b en d, on trouvera les seconds membres des équations , ce qui tient à ce qu’il en est ainsi dans les équations données, et à ce que les multiplicateurs que l’on emploie, ne contiennent ni a ni b ni d.

Actuellement on peut éliminer y entre les équations (4) et (ô); à cet effet on multiplie (4) par bc“ — b"c, coefficient de y dans (5) et (5) par bc' — b'c , coefficient de y dans (4), puis on retranche. Remarquant que ces deux multiplicateurs ne contiennent ni a , a', a", ni d , d', d", on reconnaîtra que les seconds membres de (4) et (6) vont se trouver traités précisément comme les coefficients de x et que par suite, dans tous les calculs suivants, on pourra déduire le second membre, du coefficient dex, en changeant les a en d. L’élimination de y donne

x\(ac' — en (bc" — cb") — (ne" — ca") ( bc‘ — efc')] = A

en désignan t par A ce que devient le coefficient de x si l’on y change les a en d. Le calcul de ce coefficient de x peut s’abréger; car si dans la première partie ( ac ' — ca‘) (bc" — cb ") on change les accents 'en ",et réciproquement, on trouve (ac" — ca")(bc' — cb'), ce qui forme la seconde partie, au signe près. On calculera donc la première partie, et on y fera cette permutation , en changeant les signes; on trouvera deux termes abc'c" et — abc‘‘c‘ qui se détruisent; tous les autres ont le facteur c commun et l’équation précédente devient

cxlab'c'1 — ac‘b“-\-ca'b " — balc"-\-bc‘a" — cb'a "] =z A.

Si dans le coefficient.de x on change les a en d , pour former A, le facteur c restera aussi commun aux termes de A ; on pourra donc supprimer ce facteur, former A et puis déduire

db'c" — dc'b"-{-cd‘b" — bd'c '- \-bc'd “ — cb‘d"

X ab'c" — ac‘b“-{-ca‘b" —ba‘c‘‘-{-bc‘a‘' — cb'a"

Pour déduire de là y , il suffit (p. 10), dans les calculs et raisonnements, de changer les « en b, et réciproquement. Or, celle permutation faite au dénominateur change : 1° le premier terme dans le quatrième, 2° le second dans le troisième, 3° le troisième dans le sixième, et réciproquement. Donc elle ne fait que changer le signe du dénominateur. Quant au numérateur de^-, il se déduira du dénominateur par le changement des b en d.

. ad'c" — ac'd“-\-ca'd“ — da'c“-{-dc'a'‘ — cd‘a“

J ab'c" — ac‘ b‘‘-\-ca‘b‘‘ — ba‘c‘‘-\-bc‘a" — cb'a"

Dans la valeur z le dénominateur sera aussi le même, et on formera le numérateur en changeant les a en c , de sorte que

ab'd" — ad‘b"-\-db'a" — ba'd"-\-bd'a"—db'a" ab'c" — ae'b" -\-ca‘b" — ba'c"-\-bc‘a" — cb'a"'

Remarque. Pour former le dénominateur, prenez les permutations de a et b, précédées des signes qu’elles ont dans le cas de deux inconnues, savoir -+-ab , — la; introduisez, à partir de la droite, la lettre c , successivement à la troisième , à ia deuxième, à la première place, et conservant à la première permutation de trois lettres , déduite de -{-al et de — la les signes respectifs de ces deux-ci , alternez les signes à la suite, ce qui donne -{-abc, — acb,-\-cab, — bac, -\-bca, — cba.

Enfin, mettez l’accent ' sur la seconde lettre et l’accent " sur la troisième, dans chaque permutation; le résultat sera le dénominateur

ab'c" — ac‘b"-\-ca‘b" — ba'c"-{-bc‘a" — cb'a". '

Pour former le numérateur d’une inconnue, il suffit, comme on l’a vu , de changer dans ce dénominateur les coefficients de celte inconnue, dans les termes tout connus, d, d‘,d".

PROPOSITION XIII. — PROBLÈME

Résoudre m équation du premier degré, à m inconnues.

Soient x, , x, , x3 . . . xm les inconnues ; les équations seront de

uvnrc n.

la forme «,*,+ «,.r,-4-a3j;3--|- etc. -\-amxm — a.

Transposante: dans le premier membre, on mettra cette équation sous la forme A, =0.

On fera de môme des autres , de sorte que les m équations seront A , = 0 , A, = 0 , A j = 0 A,n=0.

On éliminera xm entre A,=l) et Amz=0,et l’on aura une équation qui ne renfermera plus xm ; je la représente par B, = 0 ; de môme on éliminera xm entre A,„ = 0 et chacune des équations k,=0, etc., Am— , =0 , ce qui donnera en tout m — 1 équations, qui ne renferment plus xmt et que je représente par

B, =0 , B, = 0 , Bt =: 0 B,,,-, = 0.

Entre l’équation Bm,=:0 et chacune des équations B, —O, B, =0, etc., on éliminera jrm ,, et l’on aura m — 2 équations

C, =0,C,=:0 Cm, = 0,

qui ne renferment ni .r,„ , ni xm,.

On déduira de môme de ces derniers m — 3 équations

D, =0, D, = 0 Dm 3 = 0,

qui ne renferment pas a,’„ , , xm— , , xm.

Continuant d’opérer de même, on arrivera à trois équations N, =0,N,=:0, N3 = 0, qui ne renferment que x, , x,, x3.

Entre N3=0 et chacune des deux autres, on éliminera æ’3 , ce qui donnera deux équations P, = 0 , P, = 0 entre x, , x, ; éliminante, de ces équations, on aura une équation Q,=0 qui ne renfermera que x, ; on en tirera donc la valeur de cette inconnue. On substituera celte valeur dans P, = 0, et on pourra en tirer x,; ces valeurs, substituées dans N3 = 0, donneront x3, et ainsi de suite. D’ailleurs si les équations A,=:0, A,=0, etc., An— 0 sont littérales, on pourra déduire de l’expression de#,, celles des autres inconnues, par de simples permutations de lettres.

Remarque. Les formules générales trouvées ainsi comme solutions des équations, peuvent servira résoudre les équations numériques. Soit, par exemple, les équations

5x 7j=6 , ly = 58.

On les comparera aux équations

ax-j-by — c , a‘X-\~b ‘y — c‘

ALGEBRE*

ch‘ — c'b ac‘ — a'c

où x — — ; ; » 7 — — n T-

■ - ab‘ — a‘b J ab' — a'b

Pour rendre ces équations générales identiques avec les équations numériques données, il n’y a qu’à supposer

a=5 , b— — 7, e=:6, a'— 9, b‘—\\ , c'=58; avec cela les expressions de x et y deviennent

6x11-58 (-7) 66+406 472 ^"Ôxll— 9 (—7) 55+ 63 118

Dans ces substitutions il peut se présenter des cas singuliers; ' il peut se faire, par exemple, que le dénominateur ab'—ba' devienne nul. Il peut arriver des cas analogues dans les équations à une inconnue. Ce sont ces cas qu’on va examiner. On supposera l’équation à une inconnue ramenée à la forme axz=b , a et b pouvant être des polynômes qui renferment tant de lettres connues qu’on voudra.

Du reste il est plus simple de traiter directement les équations numériques , plutôt que de recourir aux formules générales.

PROPOSITION XIV. — THÉORÈME

Soit ax = b une équation à une inconnue ; tant que a ne sera

pas nul, l’équation n’admettra qu’une seule solution x =- ; si x se présente sous la forme ^ , l’équation n’admettra aucune solution calculable; si x se présente sous la forme - , l’équation

admettra telle valeur de x qu’on voudra. Réciproquement , si l’équation admet une solution calculable et unique, a n’est pas nul;

si l’équation n’a aucune solution , x se présente sous la forme - , et si l’équation a plus d’une solution , x se présente sous la

forme

1° En effet, si a n’est pas nul , l’équation ax = b ne peut ad-

mettre pour x qu’une valeur qui , multipliée par a, reproduit b ,

valeur qui n’est autre que le quotient de - , et ce quotient est

unique.

2° Si x se présente sous la forme ^ ,

c’est que a est devenu

zéro; dans ce cas , l’équation ax — b devient O.a; = b. Or, il n’existe aucun nombre qui , multiplié par zéro , puisse donner un produit b différent de zéro. Donc il n’y a aucun nombre qui puisse satisfaire à 0.x — b.

3* Si - , valeur de i, se présente sous la forme ~ , c’est que a 0

a et b sont devenus nuis tous les deux; mais alors l’équation ax — b devient 0.ar=0 ; elle est satisfaite par toute valeur qu’on mettra à la place de x; c’est ce qu’on exprime en disant que l’équation est indéterminée.

Réciproquement. 1° Si ax — b a une solution unique et calculable, a n’est pas nul.

Car si a était nul, d’après ce qu’on vient de prouver, l’équation serait ou impossible ou indéterminée.

2° Si l’équation est impossible, a est nul et b ne l’est pas. Car si a n’était pas nul, l’équation serait possible d’une manière; sia et 6 étaient nuis, l’équation admettrait une infinité de valeurs pour x.

3° Si l’équation a plus d’une solution, a et b sont nuis; car sans cela l’équation, ou n’aurait qu’une solution, ou n’en aurait aucune, selon que a ne serait pas nul, ou qu’il le serait sans que b le fût.

Corollaire. On a montré que, en général, il n’est pas permis de diviser par zéro les deux membres d’une équation (p. 7, r.); cependant il résulte de la proposition qu’on vient de prouver, que

la formule x — - est toujours d’accord avec l’équation ax — b, même dans le cas où cette équation devient 0.x = 6, et où par conséquent on ne peut pas , à priori, en déduire x—^p

Remarque 1. Pour se faire une idée de ce que peut signifier le symbole -, il n’y a qu’à supposer que a est infiniment petit dans