LIVRE IJ
d’une expression telle que (l-t-d)m, où m augmente vers l’infini, tandis que d diminue jusqu’à zéro. Dans aucun de ces trois cas on ne saurait affirmer à priori ce que devient. l’expression qui
affecte l’une ou l’autre de ces formes. D’après cela - peut être regardé comme une solution deO.:r=:£; caria substitution donne b # b
0 X - = b; mais 0 x — ou 0 x ce est indéterminé, et il n’est pas a b-
surde de le supposer égal à b.* Du reste, si on suppose a infini-
ment petit au lieu de le supposer nul, b étant fini, - sera infini-
ment grand et satisfera toujours à ax=b.
Remarque 2. L’équation ax — b peut provenir d’une autre équation qui aura été transformée. Or ,'ax — b, peut être indéterminée sans que celle d’où elle provient, le soit. Pour donner un exemple de cette circonstance, supposons que l’on ait l’équation
(1) x(a3-\-a2b-+-ab''-{-b3)=.ai-+-a:tb-]-a,b'‘-\-ab3-\-bi
et que, dans la vue de la simplifier, on la multiplie par a — b , ce qui donne
(2) x(as‘-b'>) = *'—bK
Si l’on suppose ici a— b, cette équation (2) devient indéterminée; mais l’équation (1) ne l’est pas; car elle devient
4a3x — 5a* d’où x—-t a.
Il ne faut pas perdre de vue que (p. 7, r.) il n’est permis de multiplier l’équation (1) par a — b que si ce facteur n’est pas nul , et précisément si a=b, ce facteur est nul. Ainsi l’équation (2) ne saurait, dans le cas actuel, remplacer (I).
Remarque 3. En opérant directement sur une éq. numérique, on efface immédiatement les termes qui se détruisent, de sorte
que dans ce cas on n’obtiendra jamais pour x les symboles - , jj;
néanmoins le calcul indique d’une manière très-précise les circonstances qui répondent aux cas où ces symboles doivent se présenter et sc présenteraient en effet, si on recourait à des for-
mules générales. Car si x doit affecter la forme - , c’est que a est
nul , et b ne l’est pas; donc l’équation ax —b, débarrassée des termes qui se détruisent , sera 0= b ; et réciproquement. Ainsi c’est ' une absurdité telle que 1 = 0 , 2 = 0 , etc. , qui indiquera que l’équation n’a pas de solution finie. Au contraire si x doit être jj ,
l’équation ax—b deviendra 0..« = 0, ou 0 = 0, et réciproquement; de sorte que l’indétermination se manifestera par une identité.
Le premier cas a lieu dans
Chassant les dénominateurs , on aura
36a; — 84 + 6 — 9x=24+ 1 8a; — ( — 8x + ;r ou 36x — 9x — 18x — 8.r — x = 24+84 — 6.
ou 0 = 102.
Le second dans 2a— 5+ - — 4<r=— 4+-a:+gx+— — jj
d’où 24.r — 60+6 — 9 c = — 48+6.r+8.r+x — 6
puis 24.r — 9x—6x — 8x — x = 60 — 6 — 48 — 6
ou 0 = 0.
Définition 7. Une équation est dite une conséquence d’une autre lorsque toutes les solutions de celle-là satisfont à celle-ci.
Une équation est dite distincte d’une autre, lorsque ces deux équations n’ont qu’un nombre limité de solutions communes.
Si deux équations n’ont aucune solution finie commune, on les nomme incompatibles; sinon, on dit qu’elles sont compatibles.
PROPOSITION XV. — THÉORÈME
Si dans les deux équations ax+by = c, a'x+b'y = c', les coefficients b, b', ne sont pas nuis tous les deux , 1° Les équations admettent une seule solution finie commune , toutes les fois que ab' — a 'b n’est pas nul; 2° elles n’en ont aucune si x se pré-
