LIVRE PREMIER

A, A; . . . . Am, B, B, . . . . C, etc., désignant des polynômes ou des monômes qui ne renferment pas la lettre x.

Représentons par a:"- 1-|- .... +Pa , le produit or-

donné de tous ces polynômes, et supposons qu’il soit vrai que Pjr* est le produit des premiers termes des polynômes précédents, de lelje sorte que Pæ;*=ABC. . . . •; si on

multiplie ce produit par un nouveau polynôme

je dis que le premier terme du produit sera exactement le produit des premiers termes de tous les polynômes multipliés. Car le premier terme sera :

P Qx*-*-? ou ABC . . . •••-W3 •

qui est en effet le produit de tous les premiers termes. Donc si la proposition est vraie" pour un certain nombre de polynômes, elle l’est aussi pour un polynôme de plus. Or, elle l’est évidemment pour un polynôme multiplié par t'imité, donc .elle est vraie pour 2,3, etc., polynômes. — Même raisonnement pour le dernier terme.

PROPOSITION X. — THÉORÈME

Le carré de la somme de deux quantités contient la somme des carrés de ces deux quantités , plus le double produit de ces deux mêmes quantités ; le carré de la différence contient encore la somme des carrés , moins le double produit.

1° Soientnetôdeux quantités, a-\-b sera leur somme; le carré de a-\-b , ou (a-f-ô)2 = (a-j-b) ( a-j-b ) = dl-\-ab-\-ab-\-b2 = a2-|-2aô-|-62, résultat qui contient la somme des carrés a2, 62, et le double produit 2 ab.

2° La différence étant a — b, le carré de a — b donne (a — b)2— (a — b) (a — b) — cfl — ab — ab-\-b2 — a'1 — 2uô-f-ô2, c’est-à-dire la somme des carrés a2, ô2, moins le double produit 2 ab.

ces; on prononce A de un, A de deux, A de m. Ici l'indice rappelle le rang du terme ; ainsi A appartient au terme qui en a i devant lui, A^ à celui qui en a 2 devant lui , etc. ’

Comme on suppose que le polynôme Ax”-t- . . . -t-Am est du degré m. et que les exposants de x vont en diminuant d'une unité , il est impossible d'écrire de fait tous les termes; on en écrit quelques-uns, en laissant une lacune qu'il faut supposer comblée lorsqu’on raisonne sur ce polynôme.

Ai.r.l.riBE.

PROPOSITION XI. — THÉORÈME

Le produit de la somme de deux 'quantités par leur différence , est égal à la différence des carrés de ces quantités.

Pour le prouver , il n’y a qu’à multiplier a-f-A par a — b, et l’on trouvera a2 — A2, qui est la différence des carrés de a et de A.

Remarque. Il y a certaines multiplications qu’on peut abréger à l’aide de ces deux propositions 10 et 11.

Soit 4a3 — 6a2A-f-5aA2-|-2A3

à multiplier par 4a3+6a2A-f-ôaA2 — 2A3.

Le premier polynôme peut se mettre sous la forme

(4a3-(-5aA2) — (6n2A — 2A3) . ' (p. 3).

le second (4a3-H>aA2)-)-(6a2A — 2 A3) (p. 2).

Celui-ci. est donc la somme de deux quantités dont le premier est la différence ; par. conséquent leur produit est la différence des carrés de ces mêmes quantités; ainsi ce produit est (4a3-|-6aA2)2 — (6a2A — 2A3)2 Or, d’après là proposition 10, m

(4a3-|-5oA2)2 = (4a3)2-f-2x4a3x5aA2-|-(ÔaA2)2 = 1 6a6-(-40a4A2-4-25a2A4 De même (6a2A — 2 A3)2 = 3 6a1 A2 — 24a2A4-l-466;

retranchant ce second polynôme du précédent, on a, réduction faite,

Définition 1 5. Le degré d’un terme'privé de dénominateur est la somme des exposants des facteurs littéraux de ce terme : le degré de 5a3A2c est 3— J— 2— 1—1 — 6 , celui de am~ 2A"~ 4 est m-t-« — 6.

Définition 1 6. Un polynôme est dit homogène si tous les termes sont de même degré.

Tel est 4a3 — 2a2A+A3; a2-f-A4 n’est pas homogène. Le degré d’un polynôme homogène est celui de chacun de ses termes.

Définition 17. Un polynôme est dit symétrique par rapport à plusieurs lellres, si ce polynôme ne change pas lorsqu’on remplace l’une de ces lettres par l’autre et réciproquement; ab , a-f-A, a2-(-aA-|-A2, sont symétriques par rapport à a et A, car si