I.IVRE II

l’est, et y sera Dans ce cas la seconde équation a'xy-by=c' devient 0 — 0.

''Mais si a et a' sont nuis, y n’est pas indéterminé, quoiqu’il

se présente sous la forme jj; car l’équation (1) se réduit alors à

by = c,, d’où y — C’est ici le cas d’appliquer une remarque

faite plus haut; car pour trouver^-, on a mis dans (l) pour x sa valeur et on a réduit c au même dénominateur qui est nul,

c’est-à-dire qu’on a pris 0. jj+6;T — c> et au l*eu d’en déduire

by = c, on en déduit by — c — jj et réduisant au même déno-

0 , ac‘ — ca‘

minateur by Cependant la valeur y — — — — peut être

préparée de manière qu’elle se change en y — A cet elfct on n’a qu’à y faire a' = a-{-h , et l’on aura

ac‘ — ca‘ ac' — ca — ch

ab‘ — ba' ab' — ba — bh

. . . . „ — ch c

taisant ici a = 0 , on trouve r = — — = —

J —bh b

et cette expression ne renfermant plus h , on peut faire h — 0 ,

ce qui donne aussi a‘ — 0 , et y reste égal à Donc l’expression

dey est néanmoins propre à fournir la vraie valeur de cette inconnue.

Concluons de là , que dans tous les cas où b n’est pas

çjfy1 1)0*

nul, la valeur de x — — — indique exactement toutes les ab — ba

circonstances affirmées dans l’énoncé du théorème.

ALGfcnnn.

Remarquons encore que dans le cas où

ab' — ba‘ ■= 0 , et bc' — cb‘ — 0 , on q’a qu’à poser b' — bk , et on aura

abfr=za'b, c‘h — cbk

d’où, puisque b n’est pas nul ,

a' = ak , c‘ — ck

Par conséquent l’équation a'x+by — c' devient akx-\-!ky — ck

Ainsi ses deux membres sont des équimultiples de ax-\-J,y — c, dont elle est par suite une conséquence.

Quant aux réciproques, on observera que les équations proposées ne peuvent présenter que trois cas : 1° admettre une seule solution finie , 2° en admettre plus d’une, 3° n’en admettre aucune. La valeur de x ne peut aussi offrir que trois cas : être

finie, être -, ou -. Chacun de ces trois cas de x entraîne comme

conséquence l’un des trois premiers; donc, vice versd, chacune des trois premières circonstances entraîne l’une des trois dernières. Par exemple si les équations admettent plus d’une solu-

tion , x sera car si x était fini ou i, les équations, ou n’au-

raient qu’une solution, ou n’en auraient aucune.

Remarque. Si b et b‘ sont nuis tous les deux, les équations proposées ne peuvent plus être remplacées par (1) et (2); mais dans ce cas on peut , dans la discussion précédente, changer x en y et les b en a. Or , a n’étant pas nul , l’équation

y(ab‘ — ba‘) — ac‘ — a'c

qui remplace ici (1) est impossible si ac‘ — a'c n’est paô nul;

y est alors - , quant à x , on reconnaît qu il est aussi -.

Si ac‘ — a'c est nul, il y a indétermination et y est jj.