LIVRE II

Quant à x qui se présente aussi sous la forme il est égal à

Enfin, si b , b‘,a, a' sont nuis, il faut recourir aux équations données qui donnent alors 0 := c , 0 = c‘ et sont impossibles.

PROPOSITION XVI. — THÉORÈME

Soient trois équations à trois inconnues ax-f-by-f-cz rz d, a'x+b'y+c'z = d', a"x+b"y-f-c"z = d"; soit A le dénominateur commun des valeurs de x, y, z, (p. 12); pourvu que les deux binômes cb'— bc', cb"— bc", ne soient pas nuis tous les deux , 1° ces équations admettront me solution unique et finie , si A n’est pas nul , 2° elles n’en admettront aucune si la valeur

de x est-, 30 elles en admettront une infinité si x est jj. Les réci-

proques sont vraies.

Puisque cb' — 6c', cb" — bc", ne sont pas nuis tous les deux, il s’ensuit que c , c', c" ne sont pas nuis tous les trois, sans quoi ces deux binômes seraient nuis. Ainsi on peut supposer que c n’est pas nul.

Reprenons les équations

(1) ax -t -t.y -\-cz — d

(3) a"x-\-b"y-irc"z = d"

Puisque c n’est pas nul, on peut remplacer l’équation (2) par c‘ (ax-+-by-\-cz) — c(a‘x -+-b'y -\-c‘z) — de' —cd' (p. 9 ,c. 1) et (3) par

c 1 ‘(ax-\-by-\-cz) — c(a“x-\-b"y-{-c"z) — de" — cd" (ib.)

Ainsi les trois proposées seront remplacées par (I)

avec 4) x(ac‘ — ca')-(-y(6c/ — c6') = de' — cd' et 6) x(ac" — ca'^-^ylfic" — cô") = de" — cd"

Enfin si bc' — cb1 n’est pas nul, on peut remplacer celte dernière par celle qu'on obtient en multipliant (4) par bc"—cb ",

ALGknnE.

(6) par bc‘ — ci1, et retranchant (p. 9, c. 1), ce qui donne une équation de la forme

(6) Aï = B * ' (p. 12)

et les proposées sont remplacées par (1), (4) et (6).

Or, 1° si A n’est pas nul, l’équation (6) donne pour x une valeur unique ; si l’on substitue cette valeur de x dans (4) , celle-ci fournira une seule valeur de y ; enfin ces valeurs de x ety étant substituées dans (1), on tirera de celle-ci une valeur de z.

2° Si x ou 5. est i, A est nul sans que B le soit, et l’équa-

tion (6) sera impossible.

Donc (1), (2), (3) sont incompatibles.

3° Enfin, si x est c’est que A et B sont nuis , et l’on n’a plus

que les équations (1) et (4); on pourra donner à x une valeur quelconque; l’équation (4) donnera y et l’équation (1) donnera z; ainsi les proposées sont indéterminées.

Quant aux réciproques, on les démontre comme à la proposition précédente.

Remarque. Si lc‘ — ci1, hc“ — ci" sont nuis tous les deux, sans que c le soit, les proposées peuvent être remplacées par (1), (4) et (6); ces deux dernières se réduisent à

, ( ac‘ — a'c) x — dc‘ — cd‘

' ( ac“ — a“c) x=dc“ — cd".

Si ces deux équations fournissent pour œ une même valeur finie, on substituera cette valeur dans l’équation (1), où y restera arbitraire, et elle donnera z. Ainsi les proposées seront indéterminées, au moins par rapport à^\ Si les équations (7) ne donnent pas pour x la même valeur, elles sont incompatibles et les proposées aussi.

Reste à examiner le cas où c, c', c" sont nuis dans (l) , (2) , (3). Alors ces équations se réduisent à

ax — (— 6y — d a‘x — f-6'y —d‘ a“x-\-l>“y = d".

i.ivaiï îr. 140

Ici z reste indéterminé; quant à x et y*, plusieurs cas sont à distinguer.

1° L’une de ces équations peut être incompatible avec l’une des deux autres, et par suite il y a impossibilité.

2° L’une des trois équations est une conséquence de l’une des deux autres, et celle-là peut être supprimée, tandis que l’on discutera ces deux autres.

3“ Si aucun de ces cas n’a lieu , on résoudra deux des trois équations, et on substituera dans la troisième les valeurs trouvées; si celle troisième équation est satisfaite, on pourra , à ces valeurs de x ely, joindre telle valeur de z qu’on voudra; sinon, les équations sont incompatibles.

PROPOSITION XVII. — TIIKORÉMH.

Soient m équations à tn inconnues A, = 0, Aa = 0, ... A,„:=0, les inconnues étant x, , x, ,...xm; supposons que xIU ne manque pas dans toutes , et que Am = 0 le contienne ;■ entre celte équation et chacune des m — 1 autres , éliminons x,,, , et soient B, =0 , B, — 0 , . . . Bm , = 0 les résultats. Supposons que, vm , ne manque pas dans toutes et que Bm— ,=0 le contienne; éliminons cette inconnue entre cette équation et chacune des précédentes Bm— , — 0 ,.. . B, =0 ; soient C, = 0,... Cni ,r:0 les résultats. Continuons à éliminer de même successivement xm— ,, xm— 3 . . . . x3 , et supposons en général que x„ ne manque pas dans toutes les n équations à n inconnues x, , x, . . . • xn; soient P, = 0 , Pa = 0 les équations qui ne. renferment plus x3,...xm; supposons que x, ne manque pas dans toutes les deux et que P, — 0 le contienne. Éliminons x, entre ces deux équations ; soit Ax, = B le résultat. Si A n’est pas nul , les équations proposées admettront une seule solution finie; si A est nul, sans que B le soit , elles n’en admettront aucune ; enfin, si h et B sont nuis , elles en admettront une infinité. Les réciproques sont vraies , sous les mêmes conditions , pqr rapport à

Xm , X—, .... X„ .... X,.

En effet, représentons l’équation Am= 0 par S + arm — 0 etA, = 0par S'-|-«'xra = 0.

ALGÈBRE

Si a n’est pas nul , la seconde équation peut être (p. 9 , r. 1 ) remplacée par

(S-|-aarm) a‘— (S'-H*'4\») a — 0 ou Sa' — S'a = 0,

c’est-à-dire par l’équation qu’on obtient en éliminant xm, équation que nous avons désignée par B, =0.

Ainsi a n’étant pas nul, c’est-à-dire xm ne manquant pas dans Am=0, l’équation A,=0 peut être remplacée par B,z=0. De même Aa=0, k3=z0,...km—,z=0 pourront être remplacées par Ba=0,...Bm,=0.

Par un raisonnement semblable, on reconnaît que B, = 0, Bm, = 0

peuvent être remplacées par C,=:0, Cm, = 0, etc.; de

sorte qu’en définitif les proposées sont remplacées par les m éq.

Ain~0 , Bm, = 0, Cm a=0 Pa=0, Ax,—B=0,

dont la première contient au moins xm, la seconde xm—,, la troisième a?m a , . . . . l’avant-dernière x,.

Or, si A n’est pas nul, la dernière donnera pour#, une valeur finie, à laquelle répondra une valeur finie de x,, fournie par Aa = 0 ; on aura de même une valeur finie pour chacune des inconnues x3,xi,....xm, celte dernière étant donnée par Am = 0.

Si A est nul sans que B le soit, l’équation kx , — B=0 est impossible; donc les proposées le sont.

Si A est nul avec B , cette dernière équation est identique ; on peut prendre x, à volonté , et les proposées sont indéterminées.

Les réciproques s’établissent facilement.

Remarque. Si xm manque dans toutes les équations proposées, ou xm—, dans toutes les équations B, = 0.... Bm, = 0; ou etc., ou a?a dans les deux équations P, rz: 0 , Pa=0 , les conséquences ci-dessus n'ont plus lieu. Les circonstances qui ont lieu dans ce cas sont analogues à celles qu’on a discutées p. 16, rem.

PROPOSITION XVIII. — THÉORÈME

Des équations au nombre de m — n , avec m inconnues , sont , en général, indéterminées ; m-f-n équations avec m inconnues sont , en général impossibles.