LIVRE II

1° Soient A,=0, A',^0, Am „ = 0 les équations» „

x, , a+ xm les inconnues. Supposons que A, = 0 con-

tienne xm ; que si l’on élimine xm entre cette équation et chacune des autres, parmi les nouvelles équations il y en ait au moins une qui renferme a?m,, etc.; on pourra remplacer les proposées par ni — n équations :

dont la seconde ne renferme pas xm , la troisième ni xm, ni xm—, , etc., dont la dernière ne renferme aucune des inconnues .rm . . . . ; mais peut renfermer toutes les inconnues

•t, , a?, . . . . arn-i-t. A n— j— 1 de ces inconnnes , on donnera des valeurs arbitraires, l’équalion L, =0 fournira une valeur pour l’autre, et ainsi de suite. — Donc les équations sont indéterminées.

2° Si l’on a m-\-n équation avec ni inconnues , on pourra de m de ces équations tirer les valeurs des m inconnues, et ces valeurs ne satisferont aux n équations restantes que dans des cas particuliers. Si les 771+77 équations sont complètes, et si tous les coefficients sont des lettres dont chacune puisse être prise arbitrairement, la substitution des valeurs des m inconnues dans les 77 équations restantes, fournira 77 équations de condition entre ces coefficients.

Soient , pour exemple , les trois équations

ax-\-by=.c , a'x~\-b'y~c' , a"x->rb"y — c".

Des deux premières 011 tire

cb‘ — bc' ac‘ — ca'

ab' — ba' ’ ^ ab' — bn‘

Ces valeurs devront satisfaire à la troisième; or, pour cela il faut qu’on ait

. cb‘ — bc' , ac‘ — ca'

ab' — ba' ab' — ba'

et si les coefficients sont arbitraires, on peut les prendre de manière que celte condition ait lieu. Mais on peut aussi les prendre de façon qu’elle n’ait pas lieu; et, comme pour les valeurs données de a, a', a", b, b', b'\ c, c‘, on peut prendre c" d’une infinité de manières , telles que cette même condition n’ait pas lieu ; on dit que, en général , elle n’est pas satisfaite et que les équations données sont impossibles.

ALckBRB.

Remarque. Il faut donc bien se garder de croire que l’énoncé de la proposition actuelle signifie que toujours m — n équations à m inconnues sont indéterminées , et nr-f-n, impossibles. D’abord on ne peut pas toujours remplacer les équations proposées par celles qui résultent des éliminations indiquées , et c’est ce qui est prouvé proposition 9. En second lieu, l’équation qui provient de la dernière élimination, peut elle-même être impossible ou indéterminée. Si donc nous disons que cette proposition est vraie en général, il faut sous-entendre que, tant que les équations proposées,- sont des équations littérales complètes et générales, où tous les coefficients sont des lettres arbitraires , contre un cas qui fait exception, il y en a toujours une infinité qui rentrent dans l’énoncé de la proposition.

Du reste, dans les exemples numériques, l’élimination fera reconnaître les exceptions. Ainsi, dans le cas déni — n équations à ni inconnues, il peut se faire que l’élimination conduise à des symboles d’impossibilité tels que 4=0, etc.; et si l’on a m-\-n équations à m inconnues, on peut tomber sur des cas d’indétermination.

PROPOSITION XIX. — THÉORÈME

Si dans la résolution d'un problème purement arithmétique , on ne trouve pour une ou plusieurs des inconnues que des valeurs négatives, on peut affirmer que le problème est impossible ; de plus, si dans les équations du problème on change les signes de ces mêmes inconnues , les équations seront satisfaites par toutes les valeurs trouvées, prises abstraction faite des signes.

En effet un problème purement arithmétique ne peut être résolu que par des nombres absolus ; si donc les équations de ce problème ne donnent que des valeurs négatives pour une ou plusieurs des inconnues, c’est que le problème est impossible.

En second lieu soient x~ — a, y= — b, etc., les valeurs négatives trouvées; il s’ensuit que les équations du problème deviendront identiques si l’on y fait x— — a, y— — A, etc., ou ce qui revient au même, si l’on fait d’abord x — — x‘, y— — y1, etc., puis x‘—a,y‘—b, etc. Donc, si l’on change # en — x ,y en — y, les nouvelles équations obtenues seront satisfaites par les solutions trouvées, prises en valeur absolue.

LIVRK II.

Remarque 1. De cette transformation on peut quelquefois déduire le moyen de modifier l’énoncé du problème, de manière que l’absurdité qu’il renferme disparaisse.

En voici deux exemples :

1“ Une personne a 50 ans, une seconde en a 14; dans combien d’années l’âge de la première sera-t-il quintuple de celui de la seconde?

Soit x le nombre de ces années;, au bout de ce temps l’âge de la première personne sera 50-|-x, celui de la seconde 14-f-x, et comme 50-|-x doit être quintuple de 14-f-x, il vient