a; — 5 (14-f-x) ou 50-j-x=70-f-5x

ou — 20 =4 jc et x— —5

Le problème est donc impossible; mais si dans la première équation on change x en — r, elle devient

et donnera nécessairement r = + 4.

Or, maintenant x ne se trouve plus ajouté ni à 50 ni à 14 , il se trouve retranché. Il faut donc regarder x comme un temps passé , et non comme un temps futur , et demander : Combien y a-t-il d’années depuis que l’âge de la première personne a été quintuple de celui de la seconde, cl l’on trouvera qu’il y a 5 ans. En effet , à celte époque, la seconde personne avait 9 ans , et la première 45, qui est le quintuple de 9.

2° On demande de payer I00r avec 32 pièces, les unes de Ôf, les autres de 20 r.

Soit x le nombre des pièces de ôf, y le nombre des pièces de 20e. Comme on veut 32 pièces, on aura

Chacune des x pièces valant 5f, ces x pièces valent Sx,- chacune des y pièces valant 20f, elles valent ensemble 20y; donc , réunies , toutes ces pièces valent 5.r-f-20y, ce qui doit faire 1 00f ; ainsi

ALGEBRE.

5r-(-20/=100 ou avec

Retranchant

Ensuite x=36.

Ainsi il y a impossibilité, ce qu’on reconnaît du reste à priori, puisque 32 pièces de 5f valent déjà 160f.

Changeons/, qui est seul négatif, en—/; les équations deviennent t — /— 32 et 5r — 20/= 100

et donneront .r — 36 /=4.

Pour que le problème conduise à ces nouvelles équations , il faut le modifier de façon que le nombre et la valeur des pièces de 20f, se relranchenfrespectivement du nombre et de la valeu r des pièces de ôf. Ainsi , on peut demander qu’une personne acquitte une dette de 100f au moyen d’un certain nombre de pièces de 5r, en recevant en retour des pièces de 20f, de façon qu’elle donne 36 pièces deSf, valant 180f, et reçoive en retour 4 pièces de 20f qui font 80f.

Remarque 2. Les solutions des équations d’un problème du premier degré peuvent présenter plusieurs cas.

1° Toutes les inconnues peuvent avoir des valeurs absolues.

Dans ce cas il faut examiner si la nature du problème n’exige pas que les inconnues satisfassent encore à quelque autre condition outre celles qui sont exprimées par les équations. Par exemple, si les inconnues sont les chiffres d’un nombre, il faut que les valeurs de ces inconnues soient des nombres entiers plus petits que la base du système de numération. Si donc les nombres absolus trouvés ne remplissent pas ces conditions, le problème est impossible. Dans le cas contraire il est possible.

2“ Les inconnues se présentent en totalité ou en partie sous la

forme ou les équations, si elles sont numériques, conduisent

à des absurdités telles que 1=0 , etc.

Le problème sera impossible s’il est purement arithmétique.

3° Les équations sont indéterminées. Il n’est pas dit pour cela que le problème l’est aussi. Ainsi un problème arithmétique qui