LIVRE II
conduirait à une seule équation comme 5 r-f-7y =2 serait impossible, si les inconnues devaient être des nombres entiers.
4° Parmi les inconnues il y en a une ou plusieurs qui sont négatives. La prop. 19 répond à ce cas.
Voici un problème offrant à peu près tous les cas qui peuvent se présenter :
Deux mobiles qui se meuvent depuis un temps indéfini sur C'C , tous les deux de gauche à droite , se trouvent au même instant, l’un en A, Vautre en B. Le premier parcourt a mètres par minute , et le second b métrés , la distance AB est égale à d mètres.
En quel point de la droite indéfinie AB, ces mobiles se rencontreront-ils P
Supposons que C soit le point de rencontre, nommons x la distance inconnue AG , et posons BC=y ; nous avons
AC = AB+BC ou ,r — d -f~y.
Le premier mobile parcourant a mètres par minute, parcourra la distance x dans un temps égal au quatrième terme de la pro-
portion a : 1 : : x : .... , terme qui est - ; de même le second
parcourra y dans le temps ^ , et comme ils partent en même
temps l’un de A , l’autre de B, pour se rencontrer en C, ces temps sont égaux. On a donc la seconde équation
ou bx — ay~Q a b J
avec
Ces deux équations donnent ad
bd
Il y a ici les cas suivants :
1° a^>b .... Dans cette hypothèse les valeurs de x et y sont absolues; le problème ne contient d’ailleurs aucune autre condi-
AMitlIRK.
lion que celles qui sont exprimées par les équations (1); donc il est résolu par ces valeurs de a? et de y.
2® a b. Ici x et y sont négatifs ; ainsi le problème est impossible , en ce sens que les deux mobiles ne se rencontreront pas. Et, en effet, b étant ^>«, le mobile B, qui a de l’avance, va plus vile que A , de sorte que celui-ci ne saurait atteindre l’autre.
Comme x et y sont négatifs , on changera dans les équations (1) x en — .r,et/ en — y.
La première ne çhange pas . . .
ay—bx = 0 ,
la seconde devient y — x—d
et montre que y doit surpasser x, au lieu d’en être surpassé ; de plus, j doit surpasser x de toute la distance AB. Donc le point de rencontre ne saurait se trouver ni à droite de B, ni entre A et B ; mais il faut le supposer à gauche de A ; supposons-le en C'. Si l’on fait x=z\C', /i=BC', on aura en effet/ — x = d. Donc, dans ce cas, les mobiles se sont rencontrés avant d’arriver en A et B, et au lieu de demander où ils se rencontreront , il faut demander où ils se sont rencontrés. — Les équations (2) donne-
ront
ad bd
X = bZ^ ’ r~l~a
3° a — b. Ici les mobiles vont aussi vite l’un que l’autre; par conséquent, la distance qui les sépare conservera toujours la même longueur AB , et ils ne pourront ni se rencontrer , ni s’être rencontrés , de sorte que le problème est impossible. Aussi trouve-t-on que x et / deviennent infinis. Quant aux équations (1) , elles deviennent ax — ay— 0 , x — y—d
ou .t — /=0 , x — y—d .
et sont contradictoires, puisque x — y ne saurait être à la fois nul et égal à AB.
4“ a=b et d = 0. Ici on suppose qu’à un certain instant les deux mobiles sont au même point de C'C, et vont également vite. Donc ils ne se quitteront pas , et on peut dire que leur rencontre est partout où on veut sur CC'. Aussi x et / prennent-ils
la forme la question est indéterminée, et les équations (1)
