L 1 VR IS U

JOO

se réduisent à la seule équation x — y™0, où l’on peut donner à l’une des inconnues la valeur qu’ôn veut.

PROPOSITION XX. — PROBLÈME

Etablir les règles de transformation des inégalités.

Nous supposerons d’abord que les deux membres des inégalités sont des nombres absolus; et nous ferons remarquer qu’il y a deux axiomes analogues à ceux qui ont été énoncés prop. 7, et que voici :

1° Si deux quantités sont inégales, on pourra les augmenter ou les diminuer d’une même quantité, sans troubler l’inégalité. On peut aussi les augmenter de quantités inégales, si celle qu’on ajoute à la plus grande surpasse l’autre: c’est ainsi que si a~f>b, à fortiori on aura a-+-7 )> b-+- 2. De même , si de la plus grande on retranche moins que de la plus petite, l’inégalité subsistera.

2° On peut multiplier ou diviser les deux membres d’une inégalité par un même nombre (absolu).

Ainsi de a )>ê on conclura ae)> bc.

Réciproquement de acf>bc, on conclura par division af>b.

On peut aussi multiplier le plus grand membre par un facteur plus grand que celui par lequel on multiplie le plus petit, sans troubler l’inégalité; on peut de même diviser le plus petit par un diviseur plus grand que celui par lequel on divise l’autre.

3° Par conséquent de a^> b, on déduira a" b ", et récipro-

quement.

Considérons maintenant dans les inégalités indistinctement des nombres absolus et des symboles négatifs.

Il est impossible d’appliquer aux symboles négatifs comparés, soit entre eux, soit aux nombres absolus, tous les principes qui viennent d’être établis pour ces derniers. Si on admet les symboles négatifs dans les inégalités, ce ne peut être qu’en donnant, par convention et dans le but d’obtenir certains avantages, à la signification des mots plus grand, plus petit , une extension analogue à celle que nous avons adoptée pour les expressions ajou 1er, soustraire , etc.

Dans l’instant nous préciserons cette extension; admettons

ALul'lIRK.

pour un moment ces nombres négatifs, et montrons que les principes 1,2,3 ci-dessus ne sauraient s’y appliquer tous. Car on a , par exemple, 8 4

retranchons 12 de part et d’autre, il vient — 4^> —8, tandis que si on multipliait par — 1 , on trouverait -8 > -4.

Ainsi les axiomes 1 et 2 donnent ici des résultats contradictoires , et il faut de deux partis prendre l’un : ou écarter les symboles négatifs des inégalités, ce qui serait possible, mais quelquefois embarrassant , ou , ce qui est plus convenable , distinguer les règles qui sont applicables à ces symboles dans les inégalités.

Or, on ne saurait admettre l’inégalité — 8^> — 4; car il faudrait aussi regarder les nombres négatifs comme plus grands que zéro, vu que de 3 0 on déduirait aussi — 3^>0, en multi-

pliant par — 1. Maintenant, si 3 et —3 sont tous les deux plus grands que zéro, il faut ou regarder 3 comme — 3, ou — 3 comme ^>3; mais si l’on prend 3 ^>—3, en multipliant par — 1 , on aura — 3 3 , et réciproquement.

Donc il est impossible d’admettre — 8 — 4, c’est-à-dire d’ad-

mettre qu’on ne trouble pas une inégalité en multipliant les deux membres par un nombre négatif. Mais on peut admettre l’axiome 1 pour toute espèce d’inégalité, si l’on convient en même temps de changer le sens d’une inégalité toutes les fois qu’on multiplie les deux membres par un nombre négatif.

En effet, considérons l’inégalité 13 ^>2; retranchons 5 des deux membres , et il vient 8 — 3.

Or, cette seconde inégalité n’est qu’une autre manière d’écrire la première, et tout ce qu’on peut déduire de la première peut se déduire de la dernière. C’est ainsi que l’on obtiendra le même résultat , soit qn’on ajoute h aux deux membres de la première , soit qu’on ajoute /r-f- 2 aux deux membres de la seconde.

Si des deux membres de 13 ^>2 nous retranchons 13, nous aurons 0^> — 11.

Si nous retranchons 17, — 4^> — 15.

Ces deux dernières inégalités, multipliées par — 1 , donneront, en changeant le sens, 0<^11 et 4<^15.

Ainsi les résultats seront toujours exacts.