IVRE II

Les inégalités 8 — 3, — II «^0, — lô<^4, nous montrent

1° cjuc dans une inégalité dont l’un des membres est négatif, tandis que l’autre est absolu ou nul , le symbole négatif doit occuper la place du plus petit membre ; 2° que dans une inégalité entre deux nombres négatifs, celui qui a la plus grande valeur absolue doit occuper la place du plus petit membre. Nous conviendrons donc d’adopter le langage suivant :

Toutes les fois qu’une différence algébrique a — b est positive, la quantité a , positive ou négative, sera dite plus grande que b. Ainsi , zéro sera dit plus grand que tout nombre négatif — N : car 0— ( — N) est positif; —3 sera dit ^>—8, car — 3— (— 8)=;+5 qui est positif.

Ou encore, en considérant tous les nombres imaginables depuis 0 jusqu’à -{-se et tous ceux qu’on peut concevoir depuis 0» — 1 > — 2, — 3, — 4, etc., jusqu’à — oo , nous pourrons dire qu un nombre est d’autant plus grand qu’il est plus près de -f-oo , et d’autant plus petit qu’il est plus près de — oc .

On reconnaîtra par la suite combien ces conventions sont utiles et commodes pour donner encore plus de précision au langage algébrique, et par conséquent, pour faciliter les raisonnements.

Revenons aux transformations à faire sur les inégalités.

L’axiome 1 est donc applicable à toute espèce d’inégalité et à toute espèce de nombre. Quant à l’axiome 2 , si l’on multiplie ou que l’on divise les deux membres d’une inégalité par un nombre négatif, il faut changer le sens de l’inégalité, ainsi que cela résulte de ce qui précède. Car multiplier par un nombre négatif, revient à multiplier par un nombre positif et à changer ensuite les signes des deux membres, ce qui exige qu’on change le sens de l’inégalité. Ainsi ayant

8>3,-2>5,2>-3 en multipliant par — 1 , on aura

Pour élever à une même puissance les deux ibembres d’une inégalité, il faut distinguer plusieurs cas.

1° Si le degré de la puissance est impair, l’inégalité ne sera pas troublée.

ALckBRK.

Ainsi de 3>1,-2>-3,t> -3 on lire, en élevant au cube,

2° Si le degré de la puissance est pair, et que les deux membres soient positifs , d’inégalité subsiste (ax'. 3); mais si les deux membres sont négatifs, elle change de sens. Car avant de l’élever a la puissance, on peut multiplier par — 1 , ce qui revient à changer le sens, ensuite élever à celte puissance. Ainsi de — 2^> — 3, on tirera 2<^3, puis 2’"<^3’“. Enfin si les deux membres sont de signes contraires , on ne’peut rien affirmer sur le sens de l’inégalité nouvelle, de sorte que de cette opération on ne peut rien conclure. Car les inégalités

élevées par exemple au carré, donneraient, les deux premières, les absurdités 4^> 9 , 4^> 4,1a dernière un résultat exact 16^>4.

Ainsi a et b étant absolus, de — a, on ne saurait conclure

(—a)'”’ ou

Dans l’extraction des racines, si l’indice est impair, on peut toujours écrire les inégalités nouvelles, dans le même sens que les anciennes; c’est l’inverse de ce qui vient d’être dit. Si l’indice est pair et qu’on prenne les racines avec le signe moins , il faut changer le sens : ainsi de a1 b' , on déduira — a — b , si a

et b sont positifs; car dans ce cas b ,et par suite — a<^ — b.

Reste encore à examiner ce qui a lieu si l’on multiplie ou que l’on divise les deux membres par des nombres inégaux. Si ces deux nombres sont positifs, l’axiome 2 renferme tout ce qu’il y a à dire. S’ils sont négatifs tous les deux , c’est comme si l’on multipliait d’abord par — 1 , pour changer le sens de l’inégalité, pour ensuite employer les multiplicateurs en valeur absolue, ce qui ramène au cas précédent. Enfin si les deux multiplicateurs sont de signes contraires, il faut distinguer trois cas : si l’inégalité a ses deux membres positifs, comme 3^> 2 , on peut multiplier Iç plus grand membre par le plus grand multiplicateur qui est positif, et l’autre par le plus petit qui est négatif: le premier membre restera positif, le second deviendra négatif, et l’inégalité subsistera. Si les deux membres sont négatifs, comme