LIVRE II

— 2^> — 3, on multipliera encore le plus grand membre par le plus grand mulliplicateur et on changera le sens : car ce plus grand membre restera négatif et l’autre deviendra positif.

Enfin si l’on a une inégalité comme 2^> —4 , on ne peut rien affirmer : car si l’on multiplie par .4 et — 2 , on aurait

par 6 et — 2 12 8

par 2 et — 6 8 24

résultats dont le premier et le dernier sont absurdes. II en est de même si on multiplie le plus grand membre par le plus petit multiplicateur.

Même remarque pour la division.

Remarque. L’extension qui a été donnée à la signification des mots plus grand , plus petit , exige que l’on rèstrcignc aux nombres absolus certaines propriétés qui leur conviennent sans convenir aux nombres négatifs. Ainsi on sait qu’un produit de nombres absolus augmente avec chacun des facteurs : il n’en est pas toujours de même pour les nombres négatifs : par exemple, les facteurs — 2 et — 3 sont respectivement plus grands que — 4 et — 8, et le produit — 2 X — 3 est moindre que — 4x — 8.

De même le quotient de deux nombres absolus est d’autant plus petit que le diviseur est plus grand, pour un même dividende; mais si le diviseur est négatif, il n’en sera plus de même. De plus on peut diminuer le dividende et augmenter le diviseur sans que le quotient change, s’il s’agit de nombres négatifs. Par

exemple si dans le quotient — - on diminue le dividende de 16

pour augmenter le diviseur de 10, le quotient ne change pas :

car — — v — «. •

PROPOSITION XXI. — PROBLÈME

Trouver deux nombres dont la somme soit s, et la différence d. Soient x et y ces deux nombres, on aura, pour trouver les équations-, x-+ -y — s,x — y~ — d 0

AI.GkBRE.

Ajoutant, on a ’2x=.s-\-d, d’où x — ^ +5;

retranchan t 2y=s —d, d’où y—~ —

Ainsi le plus grand nombre est égal à la demi -somme plus la demi-différence; l"e plus petit est égal à la demi-somme, moins la demi-différence.

Définition 8. L’analyse indéterminée du premier degré a pour objet de trouver des nombres entiers pour m inconnues dans m — n équations; c’est ce qu’on appelle résoudre ces équations en nombres entiers. Le cas le plus simple est celui d’une seule équation à deux inconnues : elle est de la forme ax-\-by—c, a, b ,c étant entiers.

PROPOSITION XXII. — THÉORÈME

Pour que l’équation ax+by = c admette des solutions entières , il faut et il suffit que tout diviseur commun à a et à b divise c.

En effet supposons que x ety soient des nombres entiers ; tout nombre qui divise a et b divisera ax et by , et par suite ax-\-by ou c. Donc si l’équation a des solutions entières, tout diviseur commun à a et b divisera c.

Supposons maintepant que le plus grand commun diviseur de a , b , c , soit supprimé dans l’équation, de sorte que a et A soient premiers entre eux : je dis que l’équation ax-\-by =. c admettra une infinité de solutions entières. En effet de cette équation on tire

Supposons que a soit positif, b et c ayant tels signes qu’on voudra; soit t un nombre entier quelconque, positif ou négatif; mettons à la place dey successivement les nombres

(t) at , at — |— 1 , a t — |— 3 , . .t, at —f— a — 1 ,

qui sont au nombre de a; on va prouver que parmi ces nombres il y en a un seul qui donnera pour x une valeur entière, quel soit le nombre entier t.