LIVRE II. l

. En effet si l’on remplace y successivement par ces nombres , on aura pour x les a valeurs

c — bat b — 6(a<-f-l) c — b(at-\-a — 1).

Chacune de valeurs se composera d’une partie entière et d’une fraction ayant pour numérateur le reste de la division , et pour dénominateur a. Or, tous ces restes sont différents; car dans toute division on peut faire en sorte que le reste soit positif et moindre que le diviseur; ainsi les a restes que l’on obtiendra, seront positifs et moindres que a; de plus, nommant tl, d', deux nombres entiers positifs qui ne surpassent pas a — 1 , nous pouvons représenter par <U-(-d, at-^-d‘, deux termes quelconques de la série (1) des valeurs de y; les numérateurs des valeurs de x qui y répondent seront

c — bat — bd, c — bat — bd'

Admettons maintenant pour un instant que ces numérateurs, divisés, par a, donnent le même reste r, et soient q, q‘ les quotients ; on aurait ‘ .

c — bat — bd—aq-\-r, c — bat — bd'^aq'-^r ; retranchant, b(d‘ — d) — a=a(q — q' ).

Comme a divise le second membre, il doit diviser le premier , b(d‘ — d); or a est premier avec b; donc a divisera d' — d; mais d et d' ne surpassent pas a — 1 , et étant positifs , leur différence d' — d ne surpasse pas a et ne saurait être divisible par a. Donc il est impossible que les deux restes soient égaux. Ainsi les nombres c — bat, c — bat — b, . . . c — bat — b(a — 1) divisés par a, donnent a restes différents positifs et moindres que a; ces restes ne peuvent donc être que les nombres entiers

0, t 2 a — 1. Donc parmi ces restes il y en a un seul qui est

nul , et parmi les valeurs de x, de la série (2) , il y en a une seule qui est urt nombre entier. Donc parmi les valeurs entières dey, comprises dans la série (1), il y en a une seule qui donne pour x une valeur entière, quel que soit t.

Soit at-\-fi valeur de y ; la valeur correspondante pour x est

c — bat — bB . c — bft

x — = — ut-î *

Go

ALGEBRE.

Puisque t,b,x sont entiers, - — --l’est; représentons-le par a ; on aura

(a) x- ~a—bt , y=(i-\-at

, , . c—bfi,

avec la relation a — — ou aa-\-bfi = c , qui montre que

a et /? forment une solution de l’équation donnée, ax-\-by = c\ et comme t est un nombre entier quelconque, les formules (ci) prouvent que la proposée a une infinité de Solutions entières.

Corollaire. Toutes les solutions entières de l’équation proposée étant comprises dans les formules

x = a—bt , y=:(i-\-at.

où t est une indéterminée entière quelconque, positive ou négative , il s’ensuit que la valeur générale de x contient — b, coefficient de y dans l’équation donnée, pris en signe contraire, et multiplié par une indéterminée t, et celle de y contient a , coefficient de .r dans la proposée, avec son signe, multiplié .par la même indéterminée t. Du reste, comme on peut écrire x,=a-\-b(— t), y—ft — a( — t) , on voit qu’on peut prendre avec Son signe celui des coefficients a, b, qu’on veut, pourvu qu’on prenne l’autre avec un signe contraire.

La forme de ces expressions de .r et / peut être établie par un autre raisonnement, qui suppose que l’on connaisse une solution entière quelconque de la proposée.

Soient x—a, y— ji des valeurs qui satisfont à ax-\-by = c, de sorte qu'on aura identiquement aâ-{-bfi~c , ce qui permet de mettre l’équation proposée sous la forme av-\-byzzau~hbft ou a(x— a)-\-b(y— |S)=0.

d’où

Or, pour qu’à des valeurs entières de y répondent des valeurs entières de x, il faut et il suffit que b(y—fi) soit divisible par a;