LIVRE II

mais b élant premier avec a, il faut et il suffit que y — fi soit divisible par a; soit t le quotient supposé entier, on aura donc

- — - — t et x — a — bt a

ou y — /3 -\-at et x~a — bt

Ce qu’il fallait prouver.

PROPOSITION XXII!. — PROBLÈME

Trouver les solutions entières de l’équation ax-\-by=.c.

La question sera résolue si l’on parvient à diminuer successivement a et b , de manière à ramener la résolution de la proposée à celle d’une équation de la forme u — kv-\-h, où l’une des deux indéterminées u , v, a pour coefficient l’unité, h et le étant des coefficients entiers; Car on en tirerait uzxh — kv, et à chaque valeur entière de v répond une valeur entière de u. Or, a et b étant premiers entre eux, ce but sera atteint si l’on fait dépendre la résolution de la proposée de celle d’une équation à deux indéterminées, lesquelles auraient pour coefficients deux restes consécutifs quelconques de ceux que l’on trouve en cherchant le plus grand commun diviseur de a et b ; car le dernier de ces 'restes est l’unité.

Supposons donc a<ffb; admettons que l’on ait cherché le plus grand commun diviseur de a et b ; soient

q, q,,qt. ...q*, ....q,-^, les quotients,

r, r, , r, .... r„, rn+, .... r,+ ,, les restes.

On aura les identités

Ib — aq-\-r a=rq,-hr, r=r,q,-l-r,

rn — »— l'a— lîn-M’n

t t'nqn'^~i 1 ■

ALG knftE.

Remplaçons clans la proposée b par sa valeur ci-dessus ; on

c — rT

aura ax-^-aqy-+-ry=c d où x~—qy-\ —

Or, pour que dans cette relation x et y soient entiers , il faut et il suffit que y et J le soient; posons = t, t étant un

nombre entier quelconque; on aura. . at-\-ry=c et x=— qy-\-t et la question est ramenée à trouver pour y el t des valeurs entières qui satisfassent l’équation at-+-ry=c. Remplaçons ici a par sa valeur prise dans les relations (1) ; nous aurons ry-\-rq,t + rtt=c c—r t

d’où y= — q,t- 1 - .

Pour que y et t soient entiers, il faut et il suffit que t et

- le soient; posons nombre entier; nous

avons r,t-±-rt,=c, y~=z— ç.H-Z,

Et il faut résoudre en nombres entiers, l’équation rJ-\-rt,=.c; remplaçant r par sa valeur tirée de (1) , on a

r,t-\-r,q,t,-)-rJ,=zc d’où t—~q, f.H —

On posera de même — = et l’on aura rj,-lrr,tt=c ,

t— — qJ i+f»

En général, supposons qu’on soit parvenu ainsi aux deux relations que nous représentons par .... r»*»— i-W»— ,

Remplaçant rB, par sa valeur tirée de (1), on a r n^Q“ 1 f nÇ n-H I "fo 1“ r n-f- , t n c

d OU I — Ç n~+“i !

Pour que iB, et /„ soient entiers, il faut et il suffit que tn et

c le soient; soit tn+, la valeur entière indéterminée de

rn

. ci— r0+,tn

la dernière expression ; on aura = G-h.