LIVRE II

Oll * t i i • * * * i i t ^n+i d^ii+ i— — i— ”“^o+i^ii'4*^d+i Ainsi toutes les relations qu’on obtiendra sont de cette forme,

par conséquent on obtiendra aussi rn-1<i+ri/i-+.1=:c,

ÿH-.frWH-.

et si ri-t-,=l , l’équation entre t, et t,- 4-, donne . . . tt~c — Actuellement on peut donner à telle valeur entière qu’on veut, t -, sera entier en vertu de la dernière relation précédente; t -, et Ih-, étant entiers, t,— , le sera, et ainsi de suite jusqu’à x et y. De plus, on a vu que, pour que x et y soient entiers , il faut et il suffit que y et t , ensuite que t et t , , etc, . . , enfin que t, et le soient. Donc en donnant à <;+, toutes les valeurs entières de — œ à -+- «5 , on aura toutes les valeurs entières de x et de y qui peuvent satisfaire à la proposée.

La résolution Aeax-{-by=.c a donc été en effet ramenée à celle d’une équation rntn—,-\-rn— ,tn=c dans laquelle les coefficients des indéterminées sont deux restes consécutifs r„, rn— ,, et le reste r„ le plus avancé vers le dernier, est le coefficient de l’indéterminée tu— ,, la moins avancée.

Corollaire 1. Les expressions x,y, t, etc., fournissent une règle fort simple pour former les expressions des indéterminées : après avoir cherché le plus grand commun diviseur de <z.et b, prenez pour coefficients de y, t, t,, t,.... les quotients successifs changés de signe, et ajoutez respectivement t, ; vous aurez

les valeurs de etc. , la dernière étant donnée par

1er Ex. 1U-(-26j=18.

Recherche du plus grand commun diviseur de 26 et 1 1

Ici c=18, q— 2, qt— 2, q3z=. t,ri=3, /v+-, = l

Donc a;= — 2 y-M

y=-‘2t-yt;

ALGkDRE.

On peut maintenant exprimer * et y au moyen de <3; à cet effet on remplace <, par sa valeur — 3^»— 1 8 et l’on a

Avec cette valeur et celle de t, , on trouve X— — 1 Oj-f-64 et #=26<, — 126.

Pour /, = 0 , on a y— 54 , x— — 126, pour <,= 1 , y=43, # = — 1 00, etc.

2e Ex. 13# — 34y=24.

On mettra cette équation sous la forme 13x+34( — y) =24, et on cherchera les valeurs de x et — y

Ainsi

c=24, q — 2, q,= 1, ?,= 1, tf3=l, q* = 1, rf=2, ri+1=r5=l

Remarquons maintenant que (p. 22, c.) pour avoir toutes les valeurs de x et y, il suffit d’en avoir un seul couple; pour en trouver un, nous donnerons à <4 une valeur numérique, par exemple, la valeur 8, et nous aurons

/4=8, <3=8, <a=0, <, = 8, <=— 8, — y=16, # = —40. Ainsi (p. 22 , c.) les valeurs complètes de x et y sont x = — 40 H-34<4,y= — 16+13<..

Pour <4=1, on a #= — 6, y= — 3, etc.

Du reste rien n’empêche de prendre les coefficients avec leurs signes; on peut aussi prendre des restes et des quotients négatifs ou positifs, et faire par conséquent en sorte que la valeur