LIVRE II

absolue du reste soit toujours moindre que la moitié de celle du diviseur. Cette remarque, appliquée à l’exemple précédent, donne, quant au plus grand commun diviseur,

Ici c=24, q— — 3, <7 ,=-f-3, q->-= — 2, qy=. — 2, r— — 2, rI+1=— 1 Donc x=.iy+t, y——3t—t,, <,=+2^+24

Posant /,= — 8,ona /,=8, /=8,

Comme plus haut.

En suivant des marches différentes sur le même exemple, il est possible qu’on ne retrouve pas la même solution numérique; mais on trouvera toujours une solution quelle qu’elle soit, et les valeurs complètes de x et y comprendront toutes les solutions.

3e Ev. ' 29 v — lly—J.

Ici a^>b , ce qui ne change que peu de chose au procédé, seulement y sera exprimé en .r et t

Ici q— — 2, q,=. 3, 2, r;= — 2, rn-,= — 1. Donc on a

r=2x-|-< , x=— 3<-W, , /=-2/,-f-z, , et l’équation rj/,-(-,-l-ri-(-,*r=c devient — 2/, — Z,=7 d’où /,= — 7 — 2 /,.

Si l’on fait /,=— 3 , on trouve /.=— 1 , t=— 1 , x=2, y=z 3, Donc .r=2-f-17/,, j=3-f-29/,.

ALclfcBKE.

Remarque 2. 1° Si au lieu d’appliquer à la formation des indéterminées la règle générale , on opère sur l’équation numérique elle-même, ce qui cependant est moins commode, on peut quelquefois arriver au but en employant moins d’indéterminées auxiliaires.

Soit l’équation 34x — 13y=21.

On tire la valeur de l’indéterminée qui a le plus petit coefficient

Actuellement, au lieu de diviser seulement 34 et 13, comme on le ferait en cherchant le plus grand commun diviseur de 34 et 13 , on peut aussi diviser 21 par 13, et l’on a 4 8# — 8

La partie — rr- se met sous la Forme — — — • et pour qu elle

lü 4 1 0

soit entière, il faut et il suffit que x — 1 soit divisible par 13, attendu que 8 est nécessairement premier avec 1 3 ; on pose donc

— t, d’où y=2a? — l+8< et x~ l+13t;

par conséquent y=2(l+13t) — 1— f— 8/ = 1— |— 34#.

2“ Lorsqu’il y a un facteur commun entre le second membre et le coefficient de l’une des indéterminées x , y , on peut aussi simplifier. Exemple 19x — 8y=12.

Le facteur 4 divise 8 et 12 ; si donc x et y sont entiers , il faut que 19j7 soit divisible par 4 , et comme 4 , facteur de 8 , est premier avec 19, 4 divisera x. On posera donc x — At , et l’équation devient 19x4* — 8y=12

divisant par 4 1 9 t — 2y = 3.

Cherchant le plus grand commun diviseur entre 19 et 2, on a q = 9 , q,~\ ; donc

Pour t, = 0 , on a <=3 , y=+27 , a? = 4< = 12 et