I.IVBli II

lf>7

Pour/,=0, y = 27 , = 12

/,= — 1 y = 8 , x= 4 etc.

Corollaire 2. Toutes les fois que l’on remontera de la valeur de tx à celles de ï, y, au moyen des formules données ci-dessus, on trouvera que pour h-+-, = 0 les expressions de x et de y sont des multiples de c. En effet, avec cette hypothèse on trouve d’abord que les valeurs de t -, , <n-, jouissent de cette propriété : car on aura /j-t-,=0xc, et la valeur de t, se réduit à t,~c— lxc. En second lieu , si l’on suppose qu’il en est de môme pour deux indéterminées consécutives quelconques, t„-y-, , comme on a tB —, = — qa-4-, tn-\-tu+i , il est évident qu’en remplaçant ici tB+, par des multiples de c , on obtiendra pour ta— , aussi un multiple de c.

Donc t, , tj-i-, étant des multiples de c , il en sera ainsi de t,-,i t i-., etc., x et y.

Ainsi les valeurs de a; et y pourront toujours être supposées de la forme y—yc-{-at , x—dc — bt ,

y , ô étant entiers.

Remarque. 3. Il y a des problèmes dont la nature exige que x et y soient entiers et positifs.

C’est ce dont on va s’occuper.

PROPOSITION XXIV. — THÉORÈME

Si les coefficients *a, b, de x et y, dans l’équation ax+by = c , sont de même signe , le nombre des solutions entières positives <le cette équation est limité ; si a et b sont des signes contraires , le nombre des solutions entières positives est illimité.

Considérons successivement les deux équations ax-\-by=.c , ax — byzxc , en représentant par a et b des nombres absolus.

Dans l’équation ax-\-by—c , si x et y sont positifs, ax ne saurait surpasser c, sans quoi by, qui = c — ax , serait négatif;

donc

: ou x de même by ne saurait surpasser c ,

donc y~^j. Donc x est un nombre entier compris entre 0 et

if>8

ALGÈBRE

-, et j est un nombre entier compris entre 0 et - . Par conséquent, le nombre des valeurs entières positives de .r et y est limité. Il peut d’ailleurs se faire que l’équation ne soit pas possible en nombres positifs : telle est 6x-\-Ty=. — 3.

Quant à l’équation a r — by — c, ses solutions entières sont données par des formules telles que

x — a — ( — bt) ou x — a+bt

y — (i+at (p. 22).

Pour que x et y soient positifs, on a donc les conditions a-+-ôt^>0 d’où /^> — y

et /? f at 0 d’où

Ainsi il suffit que / soit plus grand que la plus grande des quantités — y , — - ; or, depuis là jusqu’à -+- oo il y a une infinité de valeurs entières , dont chacune mise pour / rendra x et y entiers et positifs. Ainsi le nombre des solutions entières positives est infini.

Problème i. Trouver un nombre qui , divisé par 8 , donne le reste 5 , et qui , divisé par 1 1 , donne le reste 1 .

Soit x le quotient qu’on trouve en divisant par 8 le nombre cherché ; 8.r-(-5 sera une première expression de ce nombre. De môme, y étant le quotient du nombre cherché par 11 , on aura lljM-1 pour seconde expression de ce nombre; donc

équation où x, y doivent être entiers et positifs. On en tire