r— 1 lj
Cherchant le plus grand commun diviseur de 8 et — 1 1 , on trouve deux quotients — 1, — 3, et les deux derniers restes — 3 et — 1 ; on a donc
x—y-Jrt, y=Zt-\-t, , — /— 3/, = — 4.
Faisant /,= 1 , on trouve t—\ , y— 4, x=.6; donc a? = 8-1-11/, , y— 4-(-8/,.
LIVRIÎ II.
Le nombre cherché aura pour expression
N = 8x+5 = 8(5+1 lf,)+5 = 88/ +45.
On peut donner à t , toutes les valeurs entières depuis 0 à + oo . Pour /, =0, on a N=45, etc.
Problème ii. Partager le nombre 1591 en deux parties , dont l’une soit divisible par 23 , l’autre par 34.
Soit x le quotient de la première partie par 23 , y celui de la seconde partie par 34; ces deux parties seront 23x, 34^, et comme leur somme doit faire 1591 , on a l’équation
à résoudre en nombres entiers positifs.
Cherchant le plus grand commun diviseur de 34 et 23, on trouve
q = 1 , q, = 2 , et les restes 11,1 d’où x— — 7+< , y = — 2/+/,, t = — 11/.+Î591.
Je ferai ici /, = 140, d’où t— — 1540+1591 =51 y = 38 , x = 13.
Par suite x=13 — 34i, , y — 38+23<,
Les deux parties cherchées sont donc
On peut faire /, = 0, ce qui donne 299 et 1292 et /, = — 1 1081, 510.
PROPOSITION XXV. — PROBLÈME
Trouver les solutions entières de m — t équations à m inconnues.
Soient d’abord deux équations à trois inconnues
(1) ax -yby -+-cz = d
Pour que ces équations soient possibles en nombres entiers , il faut que a, b , c , n’admettent aucun facteur commun qui ne divise d, que de même a', b', c', n’admettent aucun facteur commun qui tie divise d‘. En effet si x , y, z sont entiers, tout
àLGfeBRB.
nombre qui divise a, b, c, divisera ax , by , cz , et par suite leur somme a.r-j-by-+-cz ou d. Même raisonnement pour la seconde équation.
Ces conditions étant remplies, nous supposerons que l’on ait supprimé dans (1) le plus grand commun diviseur de a, b, c et dans (2) , celui de a', b‘, c'.
Actuellement on élimine une des inconnues, par exemple z, et l’on a
(3) ( ac' — ca')x-(-(6c/ — cb‘)y — de1 — cd'.
Cette équation présente deux cas : ou bien ac' — ca‘, bc‘ — cb' sont premiers entre eux, ou ils ne le sont pas. Dans le premier cas, l’équation (3) donnera (p. 22 et 23) des valeurs de la forme x — a-\-(bc' — cb^l y — ft—(ac‘ — ca‘)t.
On les substitue dans (1) ou dans (2); dans (1) on trouve aa-\-b(i-\~t(bca' — cab')-\-cz = d
. , . d—aa — bft
ou z-\-t(ba — ab ^ — — -
. d—aa— bd
Or, je dis que — est un nombre entier.
En effet a, fi formant une solution de l’équation (3) , on a l’identité ( ac' — ca‘)a-\-(bc‘—cb‘')^ — de' — cd ‘
d’où (4) c(d' — a'a — b‘(i) =c'(d— aa— b(i).
Mais toutes les lettres qui entrent dans cette relation sont des nombres entiers; d’un autre côté c ,c‘ sont premiers entre eux : car s’ils avaient un facteur commun , ce facteur diviserait ac‘, ca‘, bc‘, cb'; par suite il diviserait ac' — ca‘, bc' — cb', qui ne seraient donc pas premiers entre eux comme on le suppose; donc dans la relation (4) , c, qui doit diviser le second membre , étant
premier avec c‘, divisera d — a a — bjj; donc
et l’on a pour les valeurs entières x — a-\-(bc‘ — c6')< y — fi — ( ac' — ca')t d—aa— bd
d — aa — bfi
est entier,
-\-{/nb‘ — a‘b)t.
