LIVRE II

Dans le cas où ac‘ — a'c , bc — b'c ont un facieur commun , il faut, pour que l’équation (3) soit possible que ce facteur divise de' — d'e ; divisant donc l’équation (3) par ce même facteur, on a un résultat tel que ex-\-fy = g *,

d’où on tirera des valeurs de la forme

x = a-yft, y — (i—et.

Substituant ces valeurs dans l’une des deux proposées , dans (1) par exemple, on aura une équation entre z et t, laquelle servira à exprimer z et / , au moyen d’une nouvelle indéterminée I'; on pourra donc exprimer x , y, z au moyen de /', si pourtant l’équation en z et / est possible.

1er Ex. 5x-\-7 y — 3s = 9

Eliminant z, ona 37a+44y = 81.

Celle équation donne (p. 23)

substituant dans la première équation donnée, on trouve

3 z — 39/ = 3 divisant par 3 z = 1+13/

avec :r = 1 +44/ , y = 1 — 37/.

Si x , y, z doivent être positifs, on ne peut donner à / que la valeur zéro , et il vient

2e Ex. 6-r+7 y — 3 z = 8

9a+3y+ Hz = 1 7 Éliminant z, 52a+44y = 91

Les coefficients 52 et 44 ayant un facteur commun qui ne divise pas 91, les équations proposées sont impossibles en nombres entiers.

£ Celte équation peut présenter encoro diverses circonstances dont je supprime la discussion.

ALGEBRE.

3e Ex. 6®+7^+4z = 122

Ici ac‘ — ca', bc‘ — cb ' ont un facteur commun qui divise (le ' — cd' ; l’équation en x et y se réduit à

40^-4-37^ = 656 d’où, d’après pr. 23,

Substituant dans la première des proposées, on a 2z— 29* = 6, d’où * = 2*', z = 3+29*'.

Avec cela x et/ deviennent

Pour que®, j, z soient positifs , il faut que *' = 0, d’où x = 9 ,y=8, z — 3.

On remarquera que si l’indéterminée qui entre dans les valeurs de x, y, z, a, dans ces trois valeurs, le même signe , le nombre des solutions entières positives est illimité; sinon, il est limité.

4 c Ex. 17 x — 3 y — 20z = 33

7 ®+3 y — 20z = 29 éliminant z, on a 5® — 3j = 2

d’où x — 1+3*,/ = 1+5*.

Ces valeurs substituées dans la première des proposées donnent 36* — 20z = 19, équation impossible en nombres entiers.

Soient maintenant m — 1 équations compatibles et distinctes , renfermant m inconnues x , , x,,..., xm, pour lesquelles il s’agit de trouver des valeurs entières. On remplacera ces équations par m — 1 équations contenant la première m indéterminées, la secondent — 1 , la troisième m — 2, la dernière 2. (p. 13).

Soient km — 0 l’équation qui renferme les m indétermi-