LIVRE II
nées x,, x, . . . . xm ;
Am,= 0, celle qui renferme . . . x,, x, ... . xm— ,; etc.
A4 = 0, celle qui contient . . . x,, xt, x3, xy,
De l’équation A, = 0 , on tirera x, , x2, exprimées au moyen d’une indéterminée /, ; on les substituera dans l’équation A3=0, qui ne renfermera que x3 et / , , qu’on pourra exprimer au moyen d’une autre indéterminée t% , de mêmé que x, , x, ; dans A4 = 0 on remplacera x, , x ,, x3 par leurs valeurs en t, , et on aura a?4, /,, par suite x^, x3, x2, x,, au moyen d’une nouvelle indéterminée t3 , etc.
Problème i. Trouver un nombre qui , divisé respectivement par les nombres 11,19, 29, donne les restes 5, 12, 4.
Soient x , y, z les quotients respectifs du nombre cherché par 11 , 19, 29. On aura pour ce nombre les trois expressions
1 1 a?— f— Ô , 19/+12 , 293+4 , et on pourra formuler deux équations
llx+5=19/+12 1 lx+5 = 293+4.
De la première on tire lia? — 19/ = 7
puis *=ll+19l , y=6+ll( (p. 23).
Substituant dans la seconde , on a 29z — 209/ = 122 d’où —4392+2091' , / =— 30+29/' ou , remplaçant pour simplifier, t' par 21+/,
H est inutile de former x et/; le nombre cherché est 293+4=29(— 3+209/,)+4=— 83+6061/,.
On peut donner à /, toutes les valeurs entières 1)2,3, + 00.
Problème ii. Trouver l’expression générale de tous les multiples communs à plusieurs nombres entiers a , b, c, d.
Soit N un multiple commun à ces nombres ; nommons
Al-GknRR.
x , y, z, U . . , . les quotients de N par a, b , c, d; on aura N = ax — by — cz — du ;
et il s’agira de trouver les solutions entières positives de ces équations.
Pour l’équation ax^zby, soit 8 le plus grand commun diviseur de a et b ; cette équation peut se mettre sous la forme
elle admet la solution x = 0,^ = 0; donc (p. 22, e .) toutes les autres solutions entières sont données par les formules
t étant une indéterminée entière.
L’équation byxzcz devient, par suite de cette valeur de y,
ba
Soit 8' le plus grand commun diviseur de ^ et c; cette équation prend la forme
ba c „ '
et comme elle est satisfaite par < = 0 , z = 0 , on aura c ba
l-8tl ’ *~88‘tl’
Substituant cette expression dans cz—du, on a
ba
•t et, --du— 0.
bac
Soit 8 " le plus grand commun diviseur de ~rz, et d, on aura"
oo
bac
Par suite
Sfrô"*' 8"U~ °*
bac b
u~ââ¥rt * ’ tv~
