livre U

abcâ,

Comme N =du, on aura N= C pour l’expression cherchée.

Le plus petit de tous les multiples répond à tt— 1 , et est égal à ; pour le trouver, il n’y a qu’à diviser a par le plus

grand commun diviseur de a et b , et multiplier le quotient

par b ; diviser ce produit ~ par le plus grand commun diviseur

ab . . nb ...

de — et c , et multiplier le quotient -ÿ-p par c , et ainsi de suite,

quelle que soit la quantité des nombres a, b, c, d..., Ce résultat peut se démontrer par une autre voie.

PROPOSITION XXVI. — PROBLÈME

Résoudre en nombres entiers positifs une équation d 3, 4, 5, etc., indéterminées.

1° Soit l’équation ax-\-by-\-cz—d, où a, b , c n’ont aucun facteur commun , ce qui n’empêche pas qu’ils ne puissent avoir 2 à 2 des facteurs communs.

Cette équation présente deux cas : ou bien parmi les coefficients a, b, c il y en a deux qui sont premiers entre eux , ou bien ils ont 2 à ^2 des facteurs communs.

Supposons d’abord que a et b soient premiers entre eux ; on prendra

(1) ax-\-by ±= d — cz posant d — es = e , on a

(2) (zar-f -by—e

.équation qui , traitée d’après la méthode de la prop. 23, donnera, en vertu du corollaire 2, des valeurs de la forme x — me '—bt , y—ne-\-at ; comme me, ne forment une solution de (2), on a

mea-\-neb zz e ma nb — 1.

ou (3)

,-G ALGÈBRE

En vertu de la valeur de e , on a , par conséquent,

(4) x—md — me z — bt , y—nd — ncz-\-at.

Si a, b,c sont de même signe, ce qui permet de les supposer positifs, il est clair que le nombre des solutions entières positives de l’équation (1) est limité; car ax , by , cz étant positifs, on aura, à cause de l’équation (1),

ax <^d , by d , cz d

d’où x ~ > J'- \

d’ailleurs sr^>0,/^>0,z^>0.

Les formules (4) conduisent à la même conséquence; en effet, on doit avoir

md — me z — bt~^> 0 , nd — ncz-\-at 0

(5) d’où

^ md — mc.z nez — nd

et par suite

md — mcz . . nez — nd

d’où

amd — amcz bnez — bnd

ensuite

( '«m-fin ) d (am-\-bn)cz ;

or, en vertu de (3), am-ybn—\ ; donc

dj>cz et i

Ainsi les valeurs de z sont limitées à 0 et - ; par conséquent , dans les formules (4), on fera successivement z= 0 , 1,2.... jusqu’à -, et pour chaque valeur de z , il n’y aura que des valeurs de t déterminées par les limites (6), qui soient admissibles.* Si c est négatif, représentons-le par — c‘\ les formules 4 deviendront

(6) x—md-^-mc'z — bt , y — nd-\-nc‘z-\-at

, , md-+-mc‘z — nd — nc'z

et donnent (7) t t t