LIVRE II
md+mc'z ^ — nd — nc'z
puis
On a aussi z^> 0; ainsi on prendra z à volonté, pourvu qu’il
soit supérieur au plus grand des deux nombres 0 et — —j on
finira bientôt par trouver des valeurs de z auxquelles répondent des valeurs entières de t, et des valeurs positives de# et y. Pour le prouver, il suffit de montrer que l’on arrivera à des valeurs de z telles qu’entre les deux limites de t (7) il y aura au moins un nombre entier. Pour cela il suffit que ces deux limites diffèrent d’une unité. Posons donc
mdr-\-mc‘z — nc'z — nd
d’où d+c 'z^> ab, et z
ab — d
Ainsi , au plus tard quand z sera plus grand que — , il y
aura des valeurs entières de t auxquelles répondront des valeurs entières positives de x et y, et à partir de là z pourra aller jusqu’à l'infini.
Enfin si a et b sont de signes contraires , supposons b négatif et égal à — b'. Les formules (4) deviennent
x — md—mcz-+-b‘t , y — nd — ncz-\-at.
On donnera ici à z une valeur entière positive arbitraire; les valeurs de x et y prendront la forme
x = k-\-b't , y — l-\-at ,
et on pourra donner à t une infinité de valeurs. Ainsi à chaque valeur arbitraire, entière et positive de z, répondront des valeurs entières positives de x et en nombre infini.
En résumé si a, b, c sont de même signe, les solutions entières positives de l’équation sont en nombre limité, sinon, elles sont en nombre illimité.
ALGEBRE.
Supposons maintenant que les coefficients a, b ,c , aient deux à deux des facteurs communs ; soient h le facteur commun à a et b; faisons a — a'h, b = b'h; l’équation (1) devient
(8) a ‘hx-\-b 'hy-\-cz ~ d
d’où alx-\-b'y — — - —
Or , il faudra que - ■ ? °Z- soit un nombre entier t; on a donc les deux équations
(9) a‘x-\-b‘y — t, d — cz — ht
Puisque a, b, c sont premiers entre eux, c et h qui est le plus grand commun diviseur de a et I», le sont aussi; ainsi la dernière équation donnera des valeurs de la forme
(10) z — a— ht1, t = ft+ct' avec la condition (11) ca-\-h(i — d.
Quant aux valeurs de x et y tirées de l’équation a‘x-\-b‘y — t comme si t était connu , on aura
x =mt-+-b‘t“,y—nt—alt “ avec (12) a'm-j-b'n — 1.
Remplaçant ici t par sa valeur (10) on aura
[ x — mjS+mct '+& ' t "
(13) | y — nfî-{-nct ‘ — a‘t“
( z — a — ht1
h étant nécessairement positif, pour que z le soit , il faut que l’on ait t‘ <T?
Si a, 6, c et par suite a', b\ c sont positifs, l’inspection de l’équation (1) ou (8) montre que x , y, z sont limités. Les formules (13) le prouvent aussi; car elles donnent
(14) —mfi-mct' ^np+nct1
L1VRK 11.'
,, . nft-\-nctl. —mft — met •
,loll -i ; >
et /9(wa'-l-n6') — ctl(nia'-\~nb'')
et à cause de (12) — et1 <^/9 d’où r)> — .
Donc t‘ a deux limites; pour chaque valeur entière de t1, com-
prise entre — et , t“ aura un certain nombre de valeurs
déterminées par (14), et pour chaque système de valeurs de t‘, t“ ainsi déterminées, les formules (13) donneront as, y, z.
Si a , b , c , ne sont pas tous les trois de même signe, on reconnaîtra, à peu près comme plus haut, que les solutions entières positives sont en nombre illimité.
2° Soit l’équation
(16) a,x- \-a,x,-+- .... H-an.JSm = b.
Le cas le plus général est celui où dans eette équation il n’y a pas deux coefficients qui soient premiers entre eux.
Nommons d le plus grand commun diviseur de a,, a, ,
et soit fait a, = a\d, «, == a\d, . . ., am. = a'„—,d.
L’équation (16) prendra la forme
Le facteur entre parenthèse devant être entier, on posera (16) . . . -f-a'n>,xm— , = t, indéterminée en-
tière et l’équation précédente devient dt-\-amxm = b.
d est nécessairement premier avec am-, donc cette équation est possible en nombres entiers , et nommant une indéterminée entière, on a pour cette équation des solutions telles que
xm = ab-^-dfr (17) t = (îb-amS-
a, /? satisfaisant à aa„+^d = 1
lSo ALGEBRE.
Soit d , le plus grand commun diviseur de a\ a'm—„ela', =a",d, ,a\ — a‘\d , , ...a'„,»=a"m--,d,. L’équation (16) devient
d,(,an,x, • . -|-a ' m- ,xm- a)-f-a 'm , a?m , = /.
(Nous désignerons par -d1,, .. . des indétermi-
nées entières).
Le Facteur de d, devant être entier , on fera
L’équation précédente deviendra
et donnera
xm—, = a,/-hd,&, t, = i f?,t—
avec <n,a‘m—,-\-fi,d, — 1.
Soit d, le plus grand commun diviseur de
J/ A! „êl ,// __/// J .,/// J -J/ ///
Æ D Û m—3j Clfl i j — ^ afljj Û m— 3— û m — 3"**
L’équation (18) donnera
(20) a'</,a;1-j-fl///,a;!,+.„-(-«/</m 3a;ia— 3 == t, et dl<1-H»/,m aa?m 1 = L.
De cette dernière on tire
— 2 — • r da^a *
avec a2aum— 1+/3ad1 = 1.
En suivant les mêmes notations, on trouvera
a?m — 3 djt^-j-djS' 3
^3 = /Î3<J Cl"lm—3'd' 3
<X3<l" fi 3di — 1
