LIVRE II. l8l
et l’on parviendra à réduire à 3 le nombre des indéterminées x, , xa supposons que l’équation qui les contient soit
a,x,-{-âtxt-+-a3x 3 = <m 4.
La barre qui surmonte les a,, ... tenant lieu de m— 3 accents. Soit 3 le plus grand commun diviseur de a,, a,,
et n, — et , dm — 3 ] âi * — ci idai — 3 1
on aura àlxl-\-a ,x, — tm—3
et d„,3<m 3— (-03X3 tm-i-
Ces équations donneront
xï — dm — 3^m — -î I — 3\)" m — 3
Cn — 3 — m — 3^ru — 4 «3^ m — 3
avec am-3à3H-/?m 3dm 3 = 1
et dm — iL — J' | S i^m— j
X | dm— i L — 3“S 3 il g, — g g
avec dm,a I+dm 1a’,= l.
Ainsi les solutions de la proposée sont données mules suivantes :
par les for-
xm — ab-+-d9- , t f}b—am&
xm-, , t, = /9,f—
Xm~~ a — djL—f" da$~ a y t% ^t|— m —
etc.
X i — dIU — 3 ^ ni — J 1 dm — 3 • 3^” m — 3 j tm— 3—“/^m— 3^m
*^i — CCrn — t^a» — 3 ^a a j
1 8'J ALfikBRK..
avec les conditions aam-f-/9d= 1
«a,— 3«r+-/?m— idm— 3 —
i®i “4“CCm— »na — t
Deux cas se présentent par rapport à la discussion : ou bien tous les coefficients a, , a, .... am sont de même signe , ou cela n’est pas. Dans ce second cas, qui est le plus simple, supposons a, négatif et a\ égal à — A ; la formule (m)1 devient
Xi CCaj — — 3 I A# m — i» *
Or , dans (1)' on pourra donner à S' une infinité de valeurs entières telles, que x, sera positif; chacune de ces valeurs de & déterminera une valeur entière de / ; à chaque valeur entière de t répondront pour des valeurs entières illimitées qui rendront xm, positif, et ainsi de suite, jusqu’à x3 inclusivement. Quant à xt et x, , lorsqu’on aura calculé pour <m 3 une valeur entière, on trouvera pour une seule limite; car on aura
— 3t|n — ,i I I xf'm — a ^ ^
dm — dm — r4"A5’ m, 0.
Donc le nombre des solutions entières positives de la proposée est illimité.
Il n’en est pas de même lorsque a, , a, ... . am sont tous 0.
En effet, si l’on raisonne comme on vient de le faire, en arrivant à x, et x, , on trouvera les conditions
Ct ta — a An— 3
qui pourraient être contradictoires.
Dans ce cas, toutes nos indéterminées sont limitées dans les
deux sens, comme cela résulte de l’inspection de la proposée, et voici comment on trouve ces limites.
Les deux limites de S'a,—, exigent qu’on ait la condition nécessaire et suffisante
ou , en vertu de l’avant-dernière (a) , 0.
En continuant, on reconnaîtra d’abord que 1° il faut et il suffit que toutes les indéterminées t, t,, t, ... soient positives; 2° que chacune des indéterminées S-, S", , S", . . . a deux limites. Pour trouver les valeurs de x , y, on partira des limites de S~ : si elles comprennent des nombres entiers, soit S-1 un de ces nombres; on calculera la valeur correspondante de xm et de t. Au moyen de / , on détermine les valeurs des limites de S', ; si ces limites comprennent des nombres entiers, soit S-1, un de ces nombres; on le substituera, ainsi que t, dans xm—, et t,, et ainsi de suite.
ou en vertu de la dernière relation (a), 0.
D’après cela, les formules (m — 2)' donnent
puis ( 3<f.n— 3) t, n 4 ]> 0
1 " Ex. 1 2aH-l 8y-+-l 4a+2 1 u = 98.
Les trois premiers termes donnent d = 2; on pose
(b) LJjt— t— 9j— (-7 z~t.
et la proposée devient
En y appliquant la prop. 23 , on trouve t = 49—21$-, m = 25.
Dans l’équation (b) on a d, = 3 , on pose (c) 2ar+3 y—t,
et elle devient 3<,-+-7z = <
d’où < , = • — 2 < — 7 ■0' , , z = <+35v 'et l’équation (c) donne y — t, — 25-, , x = — <,-4-35-,.
On a donc les formules suivantes :
Des expressions de x et y on tire (d) 5-,
formules qui exigent que t, soit positif; z devant l'être aussi , on a
ce qui exige que t 0 ; comme u est dans le mtkne cas , on aura
^>°et^<-<3.
Ainsi on essayera 5- = 0 , 1 , 2.
Pour 5- = 0, on a w = 0, <=49; donc à cause de (e) ,
