et 5, S
Avec 5- = 0, on fera donc 5-, = — 14 , — 15, — 16.
LIVhE II.
Faisant 9 -, =—14, on a <,=0, z= 7 ; par suite ih = 0 , d’où x = 0,/ = 0.
9\ = — 15, donne z—4 , t, =7 , 9-a et
d’où 9\=3 , /=1 , x=2.
9\=— 16donnez=l,<,=14,9\,> — et <^— ...9-,=5,6,7.
Continuant les calculs, on trouve les huit solutions suivantes :
jr = 0 ,
2e Ex.
on fait d’où et
Dans («) on pose
3x — 2 7= t, elle donne 3<,+7z = <
d’où <,= — 2< — 75-, et z = <+39-,
L’équation (/?) donne j=<,+39-a , x = <,+29-,. Ainsi les formules sont
algèbre.
Substituant la valeur de t dans celles de z et t, , puis celle de f, ainsi calculée, dans les expressions de/ et a?, on a
Pour que ces valeurs soient positives, on a
et 9,^>
On donnera à 9- une valeur entière positive quelconque , et on la substituera dans les inégalités suivantes.
La limite de 9, étant calculée, on donnera à 9", une valeur entière supérieure à celte limite, et on la substituera dans les inégalités suivantes. Enfin, on donnera à 9, une valeur entière quelconque supérieure à la plus grande de scs deux limites, et à chaque système de valeurs ainsi calculées pour 9-, 9s » 9, , on aura un système de valeurs convenables de x , y , z, u.
Remarques. 1° Rien n’empêche de former les expressions générales de xm, .. .. *,, x,, en fonction de 9-, , 9, ... . 9m—*.
2° Si les coefficients a,, a„ ... am sont premiers 2 à 2, on n’a qu’à faire
d,—d,=d3=, etc., . . . .= 1.
PROPOSITION XXVII. — PROBLÈME
Trouve r les solutions entières positives de k-+-l équations compatibles et distinctes, renfermant m-f-k indéterminées, ttz , t x,, . . . .
Par le moyen de l’élimination on déduira des proposés un autre système de k-+- 1 équations, dont
LIVRH II.
l’une Am^-i=0, renferme ï.,+1 , etc., . . . x,
la 2 , Aro-Hi — , — 0, — ...... .3?,,
etc.,
lu A*0 Am— 1 — 0 , ••••*• • ..... %
la dernière Am=o» • • • • x,.
De cette dernière on tirera les expressions de xm .r, , en fonc-
tion dem — 1 nouvelles indéterminées entières 9-, 9', , 9", ,.. i9m—a (p. 26); on les substituera dans Am+, = 0, qui renfermera après cela xm— , , 9~, que l’on exprimera en fonction de
m — 1 nouvelles indéterminées entières , A, A, Am— , , ce qui
permettra d’exprimer
. ‘Vi, ra. . . . . r en A, A, • . . . Am—*,.
En continuant ainsi, on parviendra à exprimer x, , x, . • • -rm t
en fonction de m,— 1 indéterminées entières eu, tu ,.
On écrira que x, , x, . . . . x„,-t-, sont 0 , et choisissant une indéterminée <m„— ,, on prendra toutes les inégalités qui contiennent tUm— ,, et on en tirera pour cu,n— , des limites; si toutes ces limites sont de même sens , les quantités x, , x, , X) . . . . qui renferment eum— , admettent une infinité de valeurs entières positives. Dans ce cas, des expressions x, , x,, etc., qui ne renferment pas cum, , on tirera des limites pour tum— 3 par exemple, et si en continuant ainsi successivement sur toutes les expressions x, , x, . . . . , on ne trouve pour chacune des indéterminées cum— , , cum— 3 , et c., que l’on en a tirées , que des limites de même sens , le nombre des solutions entières positives des proposées est infini.
Supposons que ro,„ , ait des limites de sens contraire; on écrira que chaque limite supérieure est plus grande que chaque limite inférieure, et on aura de nouvelles inégalités qui ne renferment plus et qu’on joindra à celles des inégalités
r,)>0, etc., qui n’ont pas encore été employées. On traitera toutes ces inégalités pour en tirer les valeurs d’une autre indéterminée tum— 3 , et on opérera de même.
Pour donner un exemple, supposons qu’on ait trouvé x= — 6 — oj — ru , 0 , d’où w.^>6 — 01
— to,)> 0 (O, 2 — f— (m
. 2 (if — 3
algèbre.
Delà 2+to^>6 — a>et2+to^>
2tu— 3
d’où
d) n’a donc que la limite 3 ; mais pour qu’il y ait des solutions , il faut que les limites contraires de eu comprennent au moins un nombre entier , ce qui arrivera si
2 co— 3 — .
2+to — (6 — to) ^ l,et2-+-a)-
d’où a -
Donc, dès que to^> 3, on aura pour tu, des valeurs entières; par conséquent x , y , z seront positifs. On fera donc
£0 = 3, 4, etc., o©
Pour second exemple , prenons
ar=2-+-2eoI — 4co^>0,y-=3— 2to,— 3to^>0 z — 1 -j-2to, — 4to^>0,«=l4-3to,+6co^>0.
Ici en tirant les limites de co, et les comparant, on trouve
W‘<T7’ W‘ <18’<Ul <3» w->—
On ne peut donc faire que
to,=0, d’où to=0, æ = 2,y=3, 2 = 1, « = t et to , = 1 , qui ne donne rien.
Problème. D’un même point d’une courbe fermée dont la longueur est 1 , partant au même instant, en se dirigeant dans le même sens n mobiles nommés P,., P,....Pn , parcourant en une minute des longueurs représentées respectivement par a,, a,...a„, quantités que nous supposons rangées de manière qu elles vont en décroissant. Combien faudra-t-il de minutes pour que ces mobiles se rencontrent 2 à 2, 3 « 3. ... ; enfin pour qu’ils se rencontrent tous.
