LIVRE II

Pour que P, rencontre P, la première fois, il faut que P, qui prend l’avance , parcoure la courbe l , plus le chemin que P, fera pendant ce temps; pour que P, rencontre P, pour la deuxième, troisième.... fois, il faut qu’il parcoure deux fois, trois fois, etc., t, fois la courbe /, plus le chemin parcouru par P,. Soit#, le temps nécessaire jusqu’à la rencontre de rang t, ; pendant une minute, P, parcourt a, mètres; donc en x, minutes, il en parcourra a, x, , et P, en parcourra ; pour que le premier espace surpasse le second de t , fois la longueur l, il faut que

a,x, — a7x,=ztj doù J?, =

<1, fl,

De même si x7 est le temps écoulé jusqu’à ce que P, ait rencontré P 3 un nombre de fois marqué par t , , on aura

x, = — , etc.

, étant le temps nécessaire pour que P, rencontre P„, ,

fois , on a

On trouvera de même les rencontres 2 à 2 de tous les mobiles.

Pour que les trois premiers mobiles se rencontrent , il faut qu’il y ait coïncidence entre une rencontre du premier avec le second , et une rencontre du premier avec le troisième; ainsi il faut chercher pour t, , t 7 des valeurs entières positives qui rendent æ,=ï,, ce qui donne

— 1 2 — ou <,(«,— a3)=t,(a,— a7) a,— a, a,—a3

Soit âi le plus grand commun diviseur de a, — a3 et a, — a,; cette équation devient

et donne

ALGEBRE.

v, étant une indéterminée entière. Si l’on fait e, = 1 , 2 , 3...., 01» aura le temps écoulé jusqu’à la première , seconde , troisième..;., rencontre des trois premiers mobiles.

Pour que les n mobiles se rencontrent , il faut que les valeurs de ar, , x2. . . . soient égales. Ainsi , il faut résoudre en nombres entiers positifs des équations.

1 1 C tn — 1

cix—(i2 a. , — tt'i

Ces équations sont au nombre de n — 2 avec n, indéterminées.

La première donne t , = — - — «, , t%— — - — u, ; donc * o, o,

Soit d , le plus grand commun diviseur de d, et a, — a/(, «, une indéterminée entière; on aura

u,=— u„ t3=z — - — (7a Uî

De là

Soit d3 le plus grand commun diviseur de d, et a, — 05 , il

vient u^ = — u3, i4= — - — . «3.

De même soit d/( le plus grand commun diviseur de d3 et a, — œ âs de d/( et a, — a,

d„, de d„— 3eta.— a„

on aura = — wn— *

On“i

Dans ces relations u3, sont des indéter-