UVRE II

=\p'+p\/ \p'-<l+\ï>*-q- |p’rtp|// \l>'-q-hq. (2) On reconnaît ici que 1°, ^pM- ^P' et — ^ p’ se détruisent;

et rtp

p' — 7, où les signes

supérieurs se

correspondent de même que les signes inférieurs se détruisent; 3°, —q et-+-ÿ sc détruisent. Ainsi l’équation est satisfaite, quelque valeur qu’on suppose à p et à q. Il y a plus : il est évident que le polynôme (2) sera nul, quand même on supposerait que

^P' — q n’est pas un nombre calculable, mais un symbole al-

gébrique quelconque, par exemple, une expression imaginaire (1. 1, p. ôt), pourvu qu’on traite ce symbole comme un nombre.

Ainsi le polynôme (1) sera aussi nul, pourvu que l’on applique toujours les mêmes règles. Donc si a, a', etc., désignent des quantités ou symboles qui, traités comme des nombres,

donneraient pour carré ^p’—q, il est certain que l’équation

x'-\-px-+-q— 0 sera satisfaite par

a'= — 2 P+« > x=~2 p t-a'-etc.

De là nous conclurons 1° que , autant on peut assigner d’ex-

pressions qui ont pour carre - p'—q> autant l’équation du second degré a de racines; 2° que quand même ip’ — q est négatif, les expressions .r = — ^p+a, x=-^p+a‘, etc., où a, a‘, désignent toujours des symboles qui , traités comme des nombres, auraient pour carré -p' — q , n’en satisfont pas moins à l’équation.

ai.gKbee.

Nous avons nommé imaginaires (i. 1, p. ôl) les racines carrées des nombres négatifs. Un nombre positif ne saurait avoir plus d’une racine carrée positive, ni plus d’une racine carrée négative. Nous ne savons pas encore si, outre ces deux-là, il n’en existe pas d’autres qui, n’étant ni positives ni négatives, seraient aussi appelées imaginaires. Pour reconnaître la vérité sous ce rapport, nous poserons quelques conventions fondées sur le fait rappelé tout à l’heure , c’est-à-dire sur ce que les expressions

satisfont dans tous les cas à l’équation

x’H-par-f-ç = 0 , pourvu qu’on assujettisse les imaginaires aux mêmes règles que les nombres réels. Ces conventions sont :

1° Nous n’admettrons dans le calcul que des imaginaires de la

forme a-\-iV — c’; a, b , c étant des nombres positifs ou négatifs, et nous dirons que tout radical tel que ^ — c1 a au moins deux valeurs ou plutôt deux déterminations , savoir

-+VZc> et

Nous prouverons plus loin qu’il n’en a que deux.

2° L’addition sera une combinaison de signes et de symboles analogue à l’addition des quantités réelles. Ainsi on écrira , par exemple,

= a+a‘+^/~\- hp'^-ï = a -t-ay-+-(/9-h/S')

De môme la soustraction

3° La multiplication des polynômes imaginaires se fera comme si les polynômes étaient réels. D’ailleurs on supposera les propositions 5 et 6 du livre 1.

4“ Par conséquent, les puissances des imaginaires se feront comme celles des quantités réelles : par exemple, si x est imaginaire, on aura xmxxn =zac"H-“.

6° Tout imaginaire multiplié par zéro donnera pour produit zéro.

6° Zéro divisé par un imaginaire donne pour quotient zéro.