LIVRE II

7" Deux imaginaires égaux pourront être multipliés ou divisés par des expressions égales , sans cesser d’être égaux.

8° On pourra multiplier ou diviser les deux termes d’une fraction par une même expression.

9° Si dans un polynôme quelconque on remplace les lettres , en partie ou en totalité, par dos imaginaires, qu’on effectue les opérations d’après ces règles , le résultat s’appellera la valeur du polynôme. On n’applique donc aux imaginaires que des principes évidents pour le cas des quantités réelles : aussi toutes les fois que l’imaginaire disparaît du calcul , les résultats seront d’une certitude absolue et complète.

PROPOSITION XXIX. — THÉORÈME

L’équation du second degré n’a pas plus de deux racines différentes.

Soit l’équation x*-\-px-\-q = 0. Nommons a, b deux racines différentes de cette équation , on aura

a*— |— pa— j— q — 0 ô’H-pô+q - 0

retranchan t a’ — — b — 0

ou («— ô) (a-\-b-\-p) — 0.

Puisque a n’est pas égal à b, a — b n’est pas nul ; on peut donc diviser de part et d’autre par a — b, et l’on aura

Si c est une troisième racine différente de a, on aura de même a-\-c-\-p — 0.

Retranchant cette égalité de la précédente, ou a b — c rr 0 ou b — c.

Donc si la troisième racine n’est pas égale à a, elle l’est à b. Donc, etc.

Corollaire 1. Une expression n’a pas plus de deux racines carrées. Car soit •<-' une racine carrée de a , il faut et il suffit qu’011

1 <j8 ALGÈBRE.

ait x’—a ou x J — a — 0, équation qui n’a pas plus de deux racines.

Il suit de là que •±V/ — n’ est identique avec ±aS/ — T. Car le carré de — à1 est — a’j celui de ±a\^ — 1 est a’( — 1) ou — a\ Donc ■±aV' — 1 sont deux racines carrées de — de même

que ±V' — a% et •+-V' — a1 — ±nl// — 1.

Remarque. Nous sommes convenus de ne considérer que des imaginaires de la forme — e’ , expression qui peut être ra-

menée à la forme a+bcV — 1 ou a +(iV' — 1. Si /9 est nul , cela se réduit à la partie réelle «. Donc les grandeurs et symboles

dont s’occupe l'algèbre sont de la forme ccd-fi^ — 1.

Corollaire 2. Si deux polynômes du second degré

Ar’+Bx+C , A'x’+B'x+C'

sont égaux, quel quesoitx, on a A —A.1, B=B', C = C'. Car de Ax’-j-Bx- |-C = A 'x’-j-B 'x+C ' on lire

(A— A^x’-f-^B— B')aH-C— C'=0 ,

or si A — A', B — B' C—C' n’étaient pas nuis, tous les trois, celte équation admettrait au plus 2 racines, c’est-à-dire qu’elle n’aurait lieu que pour 2 valeurs de a\ Mais par hypothèse elle doit avoir lieu quel que soit x. Donc A — A', B — B', C — C sont nuis, et A=A',B=B',C=C'.

PROPOSITION XXX. — THÉORÈME

Pour qu’un binôme tel que x —a divise le trinôme x’+px+q , et conduise à un quotient entier par rapport à x , il faut que a soit racine de l’équation x’H-px+q = 0.

En effet, divisons x‘-\-px-\-q par x — a.

x’H-px-f-g x — a

premier reste -f -x(p+«)+7 x-j-p-H/

deuxième reste -+- a’ -j- ap q