LIVRE II

On voit que le reste est a'-\-ap-{-q, et pour que la division ait lieu sans reste, il faut que «’-f-a/H-g soit nul, c’est-à-dire que a satisfasse à l’équation x'-^px-i-q — 0 , ou soit une racine de cette équation.

Comme l’équation a;’-f-p.r-4-g = 0 n’a pas plus de deux racines, le trinôme n’est divisible au plus que par deux facteurs du premier degré.

PROPOSITION XXXI. — THÉORÈME

Tout trinôme du second degré , de la forme x*-)-px+q, est décomposable en deux facteurs du premier degré en x, ayant tous les deux pour premier terme x , et pour seconds termes les racines de l’équation x’-+-px-f-q=0,pmei en signe contraire.

En effet , on a identiquement

x'-hpx-+-q — x’-j-px-^ -p1— £ P’-hq

ou

Mais ^p’ — q est le carré de

donc

a ;’H-px-H= (*+ \p) ~ (j/ j/»*— î)*

D’ailleurs la différence de deux carrés est égale à la somme des racines multipliée par leur différence (I. 1 , p. 11); donc

x’-i-px-+-q = Qc-\~lp-h\/ \p%—^

Ainsi x*-\-px-\-q est en effet le produit de deux facteurs qui ont tous les deux pour premier terme x. Dans le premier de ces

facteurs, le second terme est ^p-f- j/ ^p’ — q; mais une des rade l’équation x‘-\-px~\~q — 0 est — — — j/ ^p’ — q, ex-

clues

ALGÈBRE

pression qui , prise en signe contraire, donne ce second terme.

Dans le second facteur x-±--p — y -p* — q, le second terme — |/ ip1 — <7 est de même la seconde racine — — q.

changée de signe.

1er Ex. Décomposer On résout l’équation

Qui donne

x’ — 5x-f-4 en facteurs du premier degré. oc 1 — 5 a: -t- 4=0

d’où x = 4 et a?= 1.

Ainsi les facteurs cherchés sont (oc — 4)(* — 1) de sorte que x 7 — 5a:-f-4= (oc — 4) (x — 1).

2e Ex. Décomposer de même x’ — 2ax-|-a’ — 5’.

On pose x ’ — 2ax-f-a'“ — 5a=0

d’où xr=za±V/'b* , c’est-à-dire, x — a-+- b et x—a — b . Par suite

x"1 — 2ux— (--o1— 6a zz jx — (u-^— 5)| |x — (o, — 5)}

PROPOSITION XXXII. — THÉORÈME

Dans toute équation du second degré ramenée à la forme x'-\-px-\-q—{j, le coefficient du second terme est égal à la somme des racines prises en signe contraire, et le dernier terme est égal au produit des racines.

Nommons oc‘ et x“ les deux racines; on a (p. 28)

d’où