LIVRE II

“ »'»"=(- y+ÿ'ir-i') Ç-ir-v' V- 0=

îP- (î />•-?)=?•

Donc en effet />= — x'—x", et q — x‘x“.

Corollaire. Pour former une équation du second degré dont les racines sont connues , on peut faire la somme et le produit de ces racines. La somme prise en signe contraire donne le coefficient de x, et le produit donne le dernier terme.

1*' Ex. Les racines sont x'=7, x"— — 11 ; on a — p=x+x"=7 — 11 =— 4

d’où p— 4; d’ailleurs x'x"= — 11x7 = — 77 =q.

L’équation est donc xa+4r — 77 =0.

On trouve le même résultat en faisant le produit des facteurs (a? — 7) (,r-|-ll) (p. 31).

Ex. On a x' = 5+l/3, x" = Ô — VU.

Delà p — — x‘— x“—— S— 1/3— 5+1/3 = — 10,

et 7 =(5+1/3) (5— l/3) = 2o— 3 = 22.

L’équation est donc x1— 10#-+- 22 = 0.

ou (x— 5— 1/3) (x— 5+I/3) = 0.

3* Ex. x' = 2rt + 35, x" — a — b ;

p—— (2«+35) — (a — 5) = — 3<i—25 et ç = (2« + 35) (a — 5) = 2(t*+ ab — 35*

et l’équation est x*— (3a+26)x + 2a’ + a6— 3&a = 0.

PROPOSITION XXXIII. — PROBLÈME

Discuter la nature des racines de l’équation x1+p.r+ç = 0. Si nous désignons par p et q deux nombres absolus, l’équation du second degré présente les quatre cas suivants :

sou

ALGEBRE.

(2) x'—px-\~q=. 0

(3) x'~\-px — <7 = 0 i

(4) x* — px — q— 0.

1° Appelant x', x" , les deux racines de l’équation (1), on a

Pour que ces racines soient réelles, il faut et il suffit que la quantité qui est sous le radical soit positive ou nulle. Si^p’ est )> q,

les deux racines seront réelles et négatives : car x" se compose

, , . . , 1 . 1 deux parties négatives, et quant a x', on a - p ' — q ,

d’où \p>+y\p'-q> et enfin

® ^ g ? |/ ^P' — ?• Donc x' est négatif.

Du reste, l’inspection de l’équation (1) montre qu’aucun nombre positif ne peut y satisfaire. Car si x est positif x’ -f-px-f-q l'est aussi, et ne saurait par conséquent être nul.

Les relations x‘-\-x“— — p , x‘x"—q (p. 32) conduisent à la même conclusion. Car, de ce que le produit x'x" est positif, on conclut que, si x' et x“ sont réels, ils sont de même signe; mais leur somme — p est négative; donc ils sont négatifs.

Supposons -p’ — <7=0, ou q — ^p\ On aura x'— — - p,

x“=. — - p. L’équation n’a plus qu’une racine — - p ; mais

pour éviter des distinctions multipliées, on est convenu de dire que les deux racines sont égales, ce qui est analogue à ce qui a lieu pour les deux facteurs du trinôme xa -j-px-f-ÿ; dans ce

cas ce trinôme se réduit à x*+p.r-f--p* ou (x-(- - 71)* , de