LIVRE II
sorte qu’il est un carré et ses deux facteurs du premier degré sont égaux.
Enfin supposons <^<7, ce qui rend négative la quantité ^ p‘ — q , et les valeurs de x deviennent imaginaires. Dans ce
cas soit k ' la différence positive entre q et - p' , de sorte que
q = \ p' on aura
-it-px-if-q — x'-ï-px +k'=^x-Jri-p) -+-k\
Or, quelque valeur réelle qu’on mette pour x, jamais^x-|--p^
11e sera négatif; donc jamais la somme arithmétique ^ar— — pj ne deviendra nulle; donc aucun nombre, positif ou négatif, ne
peut satisfaire à l’équation x*-\-px-\-q = 0 si <£> -p1, et c’est
ce que l’algèbre indique en donnant pour x des valeurs imaginaires.
2°) Si dans l’équation (t) on remplace x par — x , elle devient ( — j-)’-) -p ( — x) -\-q — 0 ou x’ — pv-\-q z=0, qui a par conséquent les mêmes racines que (1) aux signes près.
C’est le cas de l’équation (2) ; donc si - p’ q celle-ci aura
ses racines réelles et positives; si -p, — q, elles seront égales ,
et si 7 P%<Zq elles sont imaginaires.
On a d’ailleurs = x‘x" — q; si x\ x“ sont
réels, leur produit étant positif, il est évident qu’ils sont de même signe; d’ailleurs leur somme étant aussi positive, ils sont nécessairement positifs.
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ALGÈBRE
3°) Les racines de l’équation a.1 — q — 0 sont
La quantité - p’ + q étant essentiellement positive, les va-
leurs de x sont réelles.
D’ailleurs i p*-\-q est \ p % 4 4
et — - p-+- y + ? 0. Ainsi x‘ est positif, et a;" négatif.
C’est ce qu’on reconnaît aussi parce que x‘ -f- x" — — p et x‘x“— — q; cette dernière relation montre que x’ , x" sont de signes contraires; ainsi leur somme algébrique aura le signe de celle des racines qui a la plus grande valeur absolue; or, la somme est négative; donc la racine qui a la plus grande valeur absolue est négative.
4° L’équation (4) a les mêmes racines que (3) , aux signes près ; car si dans (3) on remplace x par — x, on trouve (4); ainsi les racines de (4) sont réelles, et celle qui a la plus grande valeur absolue est positive.
Remarque 1. Dans le cas où le dernier terme q est nul, l’équation se réduit à x'±px = 0, ou x(x-±p)=z0. Ce produit devient nul, soit qu’on pose xzzO, soit qu’on fasse x±p=0, ou x — -*-p; donc les racines sont x = 0, x — ±p.
Problème i. On distribue 60 francs à un certain nombre de pauvres ; s’il y avait 3 pauvres de plus, chacun recevrait 1 franc de moins. Combien y a-t-il de pauvres P
Soit x le nombre des pauvres; puisqu’on leur distribue 60f,
chacun recevra — ; s’il y avait 3 pauvres de plus, c’est-à-dire
x-f-3 pauvres, chacun recevrait . ; or, dans ce second cas ,
chacun aurait reçu I franc de moins. Donc
u vue h.
ao5
Chassant les dénominateurs
60(x-f-3) = x(x4-3)4-60x ou 60x4-180 z=xa4-3x-|-60x;
transposant et ordonnant x’-+-3x — 180
d’où x = — |±|//|4- 180 = —^±|^729
Ainsi x — 12 , et x = — 15.
La première valeur de x résout la question. Quant à la seconde, pour savoir si elle répond à quelque problème analogue au problème proposé, on changera x en — x dans l’équation (1) (p. 19) et elle devient
ou
Celle-ci peut être regardée comme répondant à ce problème : on a distribué 60^ à plusieurs personnes ; s’il y avait eu trois personnes de moins, chacune aurait reçu lf de plus; et le nombre des personnes est 15.
Problème u. Combien faut-il prendre de lettres pour que le nombre de leurs produits 4 à 4 soit égal à k fois le nombre des produits 2 à 2?
Soit x le nombre des lettres; le nombre des produits 4 à 4
sera (1. 1, p. 24) , — , et le nombre des pro-
duits 2 à 2 ,
. Donc l’équation du problème est
Divisant de part et d’autre par
, on a
ALGÈBRE
(x — 2) (ae — 3) = 12/r ou 2c* — 5x+6 = 12/r
d’où x — — ± 1/ — — 6— (— 12A'
La valeur de x doit être un nombre entier positif, plus grand que 4, puisque x représente un certain nombre de lettres qui doivent être multipliées 4 à 4. Comme k est positif, la première valeur de x est positive; pour qu’elle soit ^>4, il faut que
d’où 1+48/ ^>9 et /-^> -^5 ou ^
Quant à la seconde valeur de x , elle sera toujours moindre que 4 et ne donnera jamais de solution. Si l’on fait k ~ 6 , on a
Problème ni.
Deux lumières d’intensités différentes sont placées en k et b; quel est le point de la droite indéjinie AB, qu’elles éclairent également.
Soit AB = d; nommons a, b les intensités respectives des lumières A et B à l’unité de distance. A des distances différentes les intensités d’une même lumière sont en raison inverse des carrés des distances.
Soit C le point inconnu , également éclairé; posons kC — x, nous aurons BC = d — x.
L’intensité de la lumière A à la distance x sera donnée par la proportion : 1 a : un quatrième terme qui est •+ de même
