CONTINUATION DU MÊME SUJET

§ 1. L'examen delà nature de l'évidence de ces sciences déductives communément considérées comme des systèmes

les Essais de sir John Herschel) où l'on soutient, au sujet des axiomes, la doctrine exposée dans le texte, qu'ils sont des généralisations de l'expérience, et l'on défend cette opinion par une argumentation qui coïncide d'une manière frappante avec la mienne. En affirmant que tout le présent chapitre (fiauf les quatre dernières pages ajoutées dans- cette édition) était '§crit avant d'avoir lu cet article (et la plus grande partie même avant qu'il fût publié)^ je n'ai nullement l'intention d'entretenir le lecteur d'une question d'aussi peu d'intérêt que le degré d'originalité que peut avoir une partie de mes propres spéculations, mais de donner à une opinion contraire aux doctrines régnantes la recommandation de l'accord frappant de deux investigateurs travaillant chacun de son côté. Je saisis l'occasion d'emprunter à un écrivain, dont cet article révèle le vaste savoir en physique et en métaphysique et la profondeur philosophique, des passages aussi remarquablement conformes à mes vues que ceux-ci :

« Les vérités de la géométrie sont condensées et incorporées dans les définitions et les axiomes Revenant aux axiomes, que trouverons-nous? Une

série de propositions relatives à la grandeur abstraile, qui sont également vraies de l'espace, de la force, du nombre, et de toute autre grandeur susceptible d'accumulation et de subdivision. Ces propositions, lorsqu'elles ne sont pas de pures définitions, comme c'est le cas de quelques-unes, portent dans leur

énonciation même la marque de leur origine inductive Celles qui déclarent

que deux lignes droites ne peuvent pas enfermer un espace, ou que deux lignes droites qui se coupent ne peuvent pas être parallèles à une troisième, sont, en réalité, les seules qui expriment des propriétés caractéristiques de l'espace ; et celles-ci, il convient de les examiner de plus près. Maintenant, la seule notion qu'on puisse se faire du Droit est l'uniformité de direction, car l'espace, en dernière analyse, n'est autre chose qu'un assemblage de distances et de directions et (sans s'arrêter à l'idée d'une contemplation continue, c'est-àdire d'une expérience mentale, comme contenue dans la notion même d'uniformité, ni à celle du transport de l'observateur d'un point à un autre et de la constatation, pendant ce transport, de l'homogénéité de l'intervalle parcouru) on ne peut même rendre la proposition intelligible à celui qui n'aurait pas été assuré du fait, depuis qu'il a vu le jour, par sa propre expérience. L'unité de direction, ou ce fait qu'on ne peut aller que par un seul chemin direct d'un point donné à un autre, est une chose d'expérience bien longtemps avant qu'elle puisse être un sujet de spéculation abstraite. Nous ne pouvons pas essayer

de vérités nécessaires, nous a conduit, dans le chapitre qui précède, aux conclusions suivantes. Les résuUats de ces sciences sont, sans doute, nécessaires, en ce sens qu'ils découlent nécessairement de certains premiers principes appelés axiomes et définitions; c'est-à-dire qu'ils sont certainement vrais, si ces axiomes et définitions le sont; car le mot nécessité, même pris en ce sens, ne signifie rien de plus que certitude. Mais leur droit à ce caractère de nécessité, entendu en tout autre sens, comme impliquant une évidence supérieure, indépendante de l'observation et de

mentalement de nous représenter les conditions de V assertion dans un cas imaginaire opposé, sans faire violence à notre souvenir habituel de cette expérience et sans défigurer notre image mentale de l'espace fondée sur cette expérience. Quoi donc^ je le demande, si ce n'est l'expérience, pourrait nous assurer de l'homogénéité des portions de distance, de temps, de force et des composés mesurables, en général, de laquelle dépend la vérité des axiomes? Quant au dernier axiome, il doit être clair, d'après ce que nous venons de dire, que les mêmes remarques s'y appliquent^ et que sa vérité est aussi fortement imposée à l'esprit par l'expérience de tous les jours et de tous les instants que celle du premier — comprenant toujours, bien entendu, dans notre notion d'expérience, ce qui est obtenu par la contemplation de la peinture intérieure que Vesprit se forme dans un cas donné, ou qu'il choisit arbitrairement pour exemple; peinture qui, en vertu de l'extrême simplicité de ces rapports primitifs, est évoquée par Vlmaginalion avec toute la vivacité et la clarté que pourrait avoir une impression externe; ce qui est le seul sens qu'on puisse attacher au mot intuition, appliqué à des rapports de ce genre.- »

Et de rechef, à propos des axiomes de la mécanique : « Ces sortes de propositions n'étant pour nous que des vérités inductivement conclues de l'observation, même dans la géométrie, on ne supposera pas que nous en jugions d'une manière différente dans une science qui a pour objet des relations évidemment contingentes Prenons un de ces axiomes et examinons son évidence ; par exemple celui-ci : que des forces égales, perpendiculairement appliquées aux extrémités opposées des bras d'un levier droit, s'équilibreront. Qu'est-ce qui pourrait , demanderai-je d'abord , sinon l'expérience , nous apprendre qu'une force ainsi appliquée aura une tendance à faire tourner le levier sur son centre? ou que cette force sera transmise le long d'une ligne perpendiculaire à sa direction, de manière à agir localement ailleurs que sur sa propre ligne d'action? Certes, lohi d'être évident de soi, cela a plutôt l'air d'un paradoxe, qui ne peut disparaître qu'en donnant à notre levier la solidité, l'épaisseur, une composition matérielle et des forces moléculaires. Nous concluons, en outre, que les deux forces, étant égales et appliquées dans des

l'expérience, doit dépendre de la constatation préalable du droit des axiomes mêmes et des définitions au même privilège. Quant aux axiomes, nous avons trouvé que, considérés comme vérités expérimentales, ils sont d'une évidence surabondante. Etant tels, nous demandions s'il était nécessaire de supposer à ces vérités une autre confirmation que la confirmation expérimentale, d'attribuer à notre croyance à ces vérités une autre origine que l'origine expérimentale. Nous avons jugé que c'est à ceux qui soutiennent l'affirmative à porter le poids de sa preuve, et nous avons très-lon-

conditions précisément semblables, si elles font effort pour incliner le levier, cet effort est égal et opposé de chaque côté. Mais quel raisonnement à priori nous peut garantir qu'elles agissent en des conditions semblables? Que des points localement différents sont semblables eu égard à l'action de la force? Que l'espace universel ne peut pas avoir telles relations avec la force universelle, ou, à tout prendre, que l'univers ne peut pas être constitué de telle sorte que les rapports de la portion d'espace qu'il occupe avec les forces qui y agissent soient de nature à invalider cette absolue similarité de conditions qu'on suppose? On n'a non plus ici que faire de la notion du mouvement angulaire sur le levier. Le phénomène est un repos, une annhilation tranquille d'une force par une forcel Comment a lieu cette destruction? Assurément par la contrepression sur le point d'appui du levier. Mais n'aurait-elle pas lieu également si chaque force pressait simplement sa moitié du levier contre le point d'appui? Et qu'est-ce qui nous peut assurer qu'il n'en est pas ainsi, sinon la soustraction de l'une ou de l'autre force et l'abaissement du levier qui en résulte? L'autre axiome fondamental de statique, que la pression sur le point d'appui est la somme des poids... est une simple transformation scientifique et une formule plus recherchée d'un résultat d'expérience universelle, à savoir, que le poids d'un corps rigide est toujours le même, dans quelque position ou par quelque point qu'on le tienne ou le suspende, et que ce qui le supporte supporte son poids total. Certainement, comme le remarque justement le docteur V^'hewell « personne n'a jamais fait d'expérience pour montrer que la pression sur le point d'appui est égale à la somme des poids »... Mais c'est précisément parce que, dès sa première enfance, chacun a fait et vu^ faire à tout instant cette épreuve que personne ne songe à confirmer son résultat par une expérience faite avec toute la rigueur scientifique. Ce serait comme si un homme voulait décider expérimentalement si ses yeux sont utiles pour voir, en s'enfermant hermétiquement lui-même pendant une demi-heure dans un coffre de métal. »

Quant au prétendua paradoxe de prapositions universelles obtenues par l'expérience)), le même écrivain dit :« S'il y a des vérités nécessaires et universelles

2 s. s DU RAISONNEMENT.

guement discuté les arguments apportés à l'appui. Cet examen ayant eu pour résultat le rejet de ces opinions, nous nous sommes cru nous-même autorisé à conclure que les axiomes ne sont qu'une classe, la classe la plus universelle, d'inductions de l'expérience, les généralisations les plus aisées et les plus simples des faits fournis par les sens ou par la conscience.

Tandis que les axiomes des sciences démonstratives étaient ainsi pour nous des vérités expérimentales, nous avons trouvé que les définitions, comme on les appelle inexac-

exprimablespar des propositions d'une évidence et d'une simplicité axiomatiques et ayant pour objet les éléments de toute notre expérience et de toute notre connaissance^ ce sont sûrement ces vérités-là que l'expérience, — si l'expérience nous apprend des vérités quelconques, — devrait suggérer le plus promptement, le plus clairement, le plus constamment. Si c'était une vérité universelle et nécessaire que chaque globe planétaire est entièrement enveloppé d'un fdet, nous n'irions pas bien loin sur le nôtre sans nous embarrasser dans ses mailles, et sans ériger aussitôt en axiome de locomotion la nécessité des moyens de s'en dépêtrer... Il n'y a donc rien de paradoxal à dire que l'observation nous fait connaître de telles vérités comme propositions générales oucoextensives,du moins, avectoute l'expérience humaine. Leur incessante suggestion par l'expérience certifie qu'elles embrassent tous les objets de l'expérience. Cette continuité d'identique suggestion, celte affirmation répétée et jamais démentie, qui commandent un acquiescement implicite et n'admettent pas d'exception, certifient qu'elles sont vraies; leur admission par tous les esprits certifie qu'elles sont simples et exemptes de toute équivoque.

« Une vérité universelle et nécessaire relative à un objet quelconque de la connaissance doit se vérifier dans chaque cas où cet objet s'offre à notre observation et si, en même temps, elle est simple et intelligible, sa vérification doit être des plus faciles ; le sentiment d'une semblable vérité ne peut manquer d'être dans notre esprit toutes les fois que l'objet nous est présenté^ et doit ainsi faire partie de l'image mentale ou idée de cet objet, que nous pouvons en toute occasion évoquer dans notre imagination. .. Par conséquent, les propositions se trouvent, non-seulement fausses, mais encore inconcevables si... dans leur énonciation les axiomes sont violés. »

Un autre mathématicien éminent avait déjà sanctionné par son autorité la doctrine que les axiomes de la géométrie dérivent de Texpérience. « La géométrie est fondée aussi sur l'observation ; mais sur une observation si familière et si évidente que les notions premières qu'elle fournit pourraient sembler intuitives. » — Sir John Leslie, cité par sir W. Hamilton, Discussions, etc. p. 272.

tement, étaient, dans ces mêmes sciences, des généralisations de Texpérience qui ne sont pas, rigoureusement parlant, des vérités, car ce sont des propositions dans lesquelles, pendant qu'on affirme d'un objet certaines propriétés constatées par l'observation, on lui dénie en même temps d'autres propriétés, bien que, en réalité, dans chaque cas individuel la propriété ou les propriétés ainsi exclusivement affirmées soient accompagnées et presque toujours modifiées par d'autres propriétés. Cette négation est donc une pure fiction ou supposition, ayant pour but d'exclure la considération de ces circonstances modificatrices lorsque leur influence est trop insignifiante pour en tenir compte ou de l'ajourner, si elles sont importantes, à un temps plus convenable.

Il résulterait de ces considérations que les Sciences Déductives ou Démonstratives sont toutes, sans exception, des Sciences Inductives; que leur évidence est toute d'expérience; mais qu'elles sont aussi, par le caractère particulier d'une portion indispensable des formules générales suivant lesquelles se font leurs inductions, des Sciences Hypothétiques. Leurs conclusions sont vraies seulement sous certaines suppositions qui sont ou devraient être des approximations de la vérité, mais qui sont rarement, si elles le sont jamais, exactement vraies; et c'est à ce caractère hypothétique qu'elles doivent la certitude particulière qu'on attribue à la démonstration.

Notre assertion, cependant, ne peut être reconnue universellement vraie pour les sciences déductives ou démonstratives, avant d'être vérifiée dans son application à la plus remarquable de ces sciences, celle des Nombres, à la théorie du Calcul, Arithmétique et Algèbre. A l'égard de ces sciences, il est plus difficile que pour aucune autre d'admettre que leurs propositions ne sont pas des vérités d priori^ mais des vérités expérimentales, ou que la certitude particuhère de ces propositions tient à ce qu'elles sont des vérités, non pas absolues, mais seulement conditionnelles. C'est donc là une question qui mérite un examen à part,

d'autant plus que nous avons à combattre sur ce point deux doctrines; d'une part, celle des philosophes à priori, et, d'autre part, une théorie des plus opposées à celle-ci, qui a été longtemps adoptée généralement, et qui est loin d'être tout à fait abandonnée aujourd'hui parmi les métaphysiciens.

§ 2. — Cette théorie prétend résoudre la difficulté de la question, en représentant les propositions de la science des nombres comme purement verbales, et ses procédés comme des substitutions d'une expression à une autre. La proposition «Deux et Un sont égaux à Trois » n'est pas, suivant cette théorie, une vérité; elle n'est pas renonciation d'un fait réel, mais la définition du mot Trois ; les hommes étant convenus de se servir du nom Trois comme signe exactement équivalent à Deux et Un, et d'appeler de ce nom tout ce qui est exprimé par l'autre phrase plus malfaite. Ainsi, la plus longue opération algébrique ne serait qu'une succession de changements dans la terminologie, par lesquels des expressions équivalentes sont substituées les unes aux autres, une série de traductions du même fait d'une langue en une autre, bien qu'on n'exphque pas comment, après cette série de traductions, le fait lui-même se trouve changé (comme lorsqu'on démontre un nouveau théorème géométrique par l'algèbre); et c'est là une difficulté mortelle pour cette théorie.

11 faut avouer que les procédés de l'arithmétique et de l'algèbre présentent des particularités qui rendent cette théorie très-plausible et ont fait assez naturellement de ces sciences la forteresse du Nominahsme. L'idée que nous pouvons découvrir des faits, pénétrer les secrets de la nature, par une adroite manipulation du langage est si contraire au bon sens, qu'il faut, pour y accéder, avoir fait quelques progrès en philosophie. On se réfugie dans une croyance ainsi paradoxale pour éviter, à ce qu'on croit, une difficulté plus grande encore que le vulgaire n'aperçoit poini. Ce qui porte surtout à penser que le raisonnement

est un procédé purement verbal, c'est qu'aucune autre théorie ne semble conciliable avec la nature de la Science des Nombres. En effet, aucune idée n'accompagne l'emploi des symboles arithmétiques et algébriques. Dans les démonstrations géométriques nous avons des figures, sur le papier ou dans l'esprit; l'imagination nous présente AB, AC, comme des lignes coupant d'autres lignes, formant entre elles des angles, etc. Mais il n'en est pas de même de a et de h. Ces symboles peuvent représenter des lignes ou d'autres grandeurs; mais ces grandeurs ne sont jamais présentes à la pensée; il n'y a rien de réalisé dans l'imagination que a et h. Les idées qu'ils représentent sont chassées de l'esprit pendant toute la durée intermédiaire de l'opération, entre le commencement, quand les Choses (la matière des prémisses) sont traduites en signes, et la nn, quand les signes sont retraduits en choses. L'esprit du raisonneur n'ayant donc pas d'autre objet que les symboles, quoi de plus inadmissible que de prétendre que le raisonnement a aff'aire à autre chose? Nous possédons là, ce semble, une des Instances Prérogatives de Bacon, un experimentum cruels de l'essence même du raisonnement.

Néanmoins, on trouvera, en y réfléchissant, que cette instance, en apparence si décisive, n'est pas une instance du tout; qu'à chaque pas d'un calcul arithmétique ou algébrique i! y a une induction réelle, une inférence'positive de certains faits à d'autres faits, et que ce qui déguise l'induction est son caractère compréhensif, et, par suite, l'extrême généralité du langage. Tous les nombres doivent être les nombres (le quelque chose; il n'y a pas des nombres abstraits. Dix doit signifier dix corps, ou dix sons, ou dix battements du pouls. Mais quoique les nombres doivent être nombres de quelque chose, ils peuvent être nombres de toute chose. Ainsi donc, les propositions relatives aux nombres ont la propriété remarquable d'être des propositions relatives à toutes les choses quelconques, à tous les objets, aux existences de toute espèce, à nous connus par l'expérience. Toutes les choses ont une quantité, se composent de parties

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qui peuvent être nombrées, et, à ce titre, possèdent toutes les propriétés des nombres. La moitié de quatre est deux ; cela doit être vrai, quoi que représente le mot quatre, quatre hommes, quatre lieues, quatre livres. Il suffit de concevoir une chose divisée en quatre parties égales (et toute chose peut être conçue divisée ainsi), pour être en mesure d'en affirmer toutes les propriétés du nombre quatre, c'està-dire toutes les propositions arithmétiques dans lesquelles le nombre quatre figure dans un côté de l'équation. L'algèbre pousse plus loin encore la généralisation. Tout nombre représente un nombre particuHer de choses quelconques sans distinction, mais chaque symbole algébrique fait plus; il représente tous les nombres sans distinction. Sitôt que nous concevons une chose divisée en parties égales, sans connaître le nombre de ces parties, nous pouvons f appeler a ou x, et lui appliquer, sans risque d'erreur, une formule algébrique quelconque. La proposition 2 {(i-\-h)=:z^ a -h 2 by est une vérité qui embrasse toute la nature. Si donc les vérités algébriques sont vraies de toutes choses, et non pas seulement, comme celles de la géométrie, des hgnes ou des angles, il n'y a pas à s'étonner que les symboles n'éveillent dans notre esprit Fidée d'aucune chose particulière. Quand on démontre la /i 7' proposition d'Euclide, il n'est pas nécessaire que les mots nous présentent f image de tous les triangles à angles droits; de même, en algèbre, il n'est pas besoin de nous représenter sous le symbole a toutes les choses, mais seulement une chose, et, dès lors, pourquoi pas la lettre même? Les caractères ^, Z», c, Xj y, z servent tout aussi bien à représenter les Choses en général que toute autre conception plus complexe et plus concrète. Que nous ayons, cependant, conscience des choses mêmes, en tant que telles, et non des simples signes, c'est ce qui ressort de ce fait que dans tout notre raisonnement nous leur attribuons les propriétés des choses. Par quelles règles procédons-nous à la résolution d'une équation? En appliquant à chaque pas k a, ô et x la proposition que des choses égales ajoutées à des choses égales

sont égales; que des choses égales retranchées de choses égales, les restes sont égaux, et d'autres propositions fondées sur celles-ci. Ce ne sont pas là des propriétés des mots ou des signes, comme tels, mais des grandeurs, ou, autrement dit, des choses. Par conséquent, les conclusions successivement tirées se rapportent aux choses et non aux symboles; et comme c'est indifféremment à toutes choses, il n'est pas nécessaire d'avoir l'idée d'une chose distincte, et, par suite, l'opération mentale peut, en ce cas, sans danger, devenir, ce que deviennent toutes les opérations mentales fréquemment répétées, entièrement mécanique. C'est ainsi que la langue algébrique arrive à être employée familièrement sans exciter des idées, de même que tout autre langage, par la simple habitude, quoique cela ne puisse pas avoir Heu, hors de ce cas-ci, avec une complète sûreté. Mais si nous revenons en arriére pour voir d'où dérive la force probante du procédé, nous trouvons qu'il n'y a de preuve qu'autant que nous nous supposons penser et parler de choses, et non de simples symboles.

Il y a une autre circonstance qui, plus encore que celle dont nous venons de parler, rend plausible l'idée que les propositions arithmétiques et algébriques sont purement verbales. C'est que, considérées comme se rapportant aux Choses, elles ont toute l'apparence de propositions identiques. L'assertion Deux et Un égalent Trois, considérée comme appliquée à des objets, par exemple « Deux cailloux et un caillou sont égaux à trois cailloux » n'affirme pas une égaUté entre deux collections de cailloux, mais une absolue identité. Elle dit que si Ton met un caillou avec deux cailloux ces mêmes cailloux sont trois. Les objets, donc, étant les mêmes, et la simple assertion que « des objets sont eux-mêmes » n'ayant pas de sens, il semble naturel de croire que la proposition Deux et Un égalent Trois exprime la pure identité de signification des deux noms.

Ceci, cependant, quoique si plausible en apparence, ne supporte pas l'examen. Les mots « deux cailloux et un caillou » , et les mots « trois cailloux 5 se rapportent, sans

doute, au même aggrôgat d'objets, mais non au même fait physique. Ils sont les noms des mêmes objets, mais de ces objets en deux états différents. Quoiqu'ils r/enotent les mêmes choses, leur co/2nolation est différente. Trois cailloux en deux parts séparées et trois cailloux en un seul tas ne font pas la même impression sur nos sens, et l'assertion que les mêmes cailloux peuvent, par un changement d'ordre et de place, exciter l'une ou l'autre sensation, n'est pas une proposition identique. C'est une vérité acquise par une ancienne et constante expérience, une vérité inductive ; et c'est sur ces vérités-là qu'est fondée la science des Nombres. Les vérités fondamentales de cette scicice reposent toutes sur le témoignage des sens. On les prouve en faisant voir et toucher qu'un nombre donné d'objets, dix boules, par exemple, peuvent, diversement séparées et arrangées, offrir à nos sens tous les groupes de nombres dont le total est égal à dix. Toutes les méthodes perfectionnées de l'enseignement de l'arithmétique aux enfants procèdent de la connaissance de ce fait. Lorsqu'on désire aujourd'hui mettre Vesprùàe l'enfant de moitié dans l'étude de l'arithmétique, lorsqu'on veut enseigner les nombres et non simplement des chiffres, on procède comme nous venons de le dire, par le témoignage des sens.

On peut, si l'on veut, appeler la proposition « Trois est deux et un » une définition du nombre trois, et dire que l'arithmétique, comme on l'a dit de la géométrie, est une science fondée sur des définitions. Mais ce sont des définitions au sens géométrique, et non au sens logique ; car elles énoncent, non pas la signification d'un terme seulement, mais en même temps un point de fait. Cette proposition : (( Un cercle est une figure limitée par une hgne dont tous les points sont à égale distance d'un point intérieur » est appelée la définition du cercle; mais la vraie proposition, dont tant de conséquences découlent et qui est réellement un premier principe en géométrie, est que des figures conformes à celte description existent. C'est ainsi qu'on peut dire que u trois est deux et un » est une définition de trois;

mais les calculs établis sur cette proposition ne suivent pas de la définition elle-même, mais d'un théorème arithmétique qui y est présupposé, à savoir qu'il y a des collections d'objets qui, impressionnant les sens de cette manière ^Qt peuvent être séparées en deux comme ceci oo o. Cette proposition accordée, nous appelons Trois toutes ces parts ; après quoi, renonciation du fait physique sus-indiqué servira aussi pour une définition du mot Trois.

La science du Nombre n'est pas une exception à la conclusion précédemment formulée, que les procédés même des sciences déductives sont entièrement inductifs, et que leurs premiers principes sont des généralisations de l'expérience. Reste maintenant à examiner si cette science ressemble à la géométrie par cet autre côté que quelques-unes de ses inductions ne seraient pas rigoureusement vraies; et que la certitude toute particulière qu'on lui attribue, et qui fait appeler ses propositions des Vérités Nécessaires, serait fictive et hypothétique, ces propositions n'étant telles qu'en ce sens qu'elles suivent nécessairement de la supposition de la vérité des prémisses, lesquelles ne sont manifestement que des approximations de la vérité.

§3. — Les inductions de l'arithmétique sont de deux espèces : premièrement, celles que nous venons d'examiner, comme « Un et un font deux, Deux et un font trois, etc. », qui peuvent être appelées, dans l'acception géométrique et impropre du mot Définition, les définitions des différents nombres; et secondement, les deux axiomes suivants : a Les sommes de quantités égales sont égales. — Les différences de quantités égales sont égales. » Ces deux suffisent, -car les propositions correspondantes pour les quantités inégales se prouvent au moyen de ces axiomes par une reductio ad absurdum.

Ces axiomes, et aussi les définitions, sont, comme on Fa montré, des résultats d'induction; vrais de tous les objets, et, ce semblerait, exactement vrais, sans admission hypolhé-

296 DU IlAlSONiNEMENT.

tique d*une vérité absolue quand il n'y en a en réalité qu'une approximation. On inférera naturellement de là que les conclusions qui en dérivent sont rigoureusement vraies, et que la science des nombres se distingue exceptionnellement des autres sciences démonstratives en ce que l'absolue certitude attachée à ses démonstrations est indépendante de toute hypothèse.

Un examen plus attentif montrera, cependant, que même dans cette science, il y a un élément hypothétique dans le raisonnement. Toutes les propositions sur les nombres impliquent une condition sans laquelle aucune ne serait vraie, et cette condition est une supposition qui peut être fausse. Cette condition est que 1 = 1; que tous les nombres sont des nombres d'unités égales. Si cela est douteux, pas une des propositions de l'arithmétique ne reste vraie. Comment savoir qu'une livre et une livre font deux livres, si une des livres est de 12 onces et l'autre de 16? Comment pouvons-nous savoir qu'une force de quarante chevaux est toujours égale, à moins de supposer que tous les chevaux sont d'égale force? Il est certain que 1 est toujours égal en nombre à 1 ; et toutes les fois qu'il ne s'agit absolument que du nombre des objets ou des parties d'un objet, sans supposer qu'ils sont équivalents sous un autre rapport, les conclusions arithmétiques, bornées à cela seulement, sont vraies sans mélange d'hypothèse. Il y a quelques rares cas de ce genre, par exemple, les recherches sur la population d'un pays. Il est indifférent dans cette recherche que les individus soient des enfants ou des adultes, qu'ils soient forts ou faibles, grands ou petits; la seule chose à constater est leur nombre. Mais lorsque, de l'égalité ou de l'inégaUté du nombre, il y a à inférer une égalité ou une inégalité sous quelque autre rapport, l'arithmétique engagée dans cette recherche est une science aussi hypothétique que la géométrie. Toutes les unités doivent être censées égales sous cet autre rapport, et cela n'est jamais rigoureusement vrai, car une livre réelle n'est jamais exactement égale à une autre livre ^ ni une lieue à \>iiù

autre lieue. Une balance plus sensible, des instruments de mensuration plus précis découvriraient toujours quelque différence.

En conséquence, ce qu'on appelle la certitude mathématique, qui comprend la double conception de vérité inconditionnelle et d'absolue exactitude, n'est pas un attribut de toutes les vérités mathématiques, mais de celles-là seulement qui se rapportent au Nombre pur, en tant que distingué de la Quantité, ati sens le plus large, et à la condition de ne pas supposer que les nombres soient un indice exact des quantités actuelles. La certitude attribuée généralement aux conclusions de la géométrie, et même à celles de la mécanique, n'est que la certitude de l'inférence. Nous pouvons être parfaitement sûrs de certains résultats particuliers dans certaines suppositions particulières, mais nous ne pouvons pas avoir l'assurance que ces suppositions sont rigoureusement vraies ou qu'elles contiennent toutes les données qui peuvent influer sur le résultat dans tel ou tel cas.

§ A. — Il est donc évident que la méthode de toutes les sciences Déductives est hypothétique. Elles procèdent en tirant des conséquences de certaines suppositions, laissant à un examen à part la question de savoir si les suppositions sont vraies ou non, et si, n'étant pas rigoureusement vraies, elles le sont suffisamment par approximation. La raison en est évidente. Si c'est seulement dans les pures questions de nombre que les suppositions sont complètement vraies (et même dans ce cas lorsqu'on n'en tire pas des conclusions autres que numériques), il faut, dans tous les autres cas d'investigation déductive, que la détermination de ce qui leur manque pour être exactement vraies fasse partie de la recherche. Ceci est généralement une aiïaire d'observation et doit être répété à chaque cas nouveau; et si, au lieu de l'observation, on a à le faire par le raisonnement, chaque cas peut exiger une preuve différente et offrir de la difficulté à tous les degrés. Mais l'autre partie du procédé,— à savoir la détermination de ce qui peut être conclu si Yon

trouve, et en proportion qu'on trouve vraies les suppositions, — peut être exécutée une fois pour toutes, et ses résultats peuvent être tenus prêts à servir suivant l'occasion. On fait ainsi par avance tout ce qui peut être fait, et on ne laisse à faire que le moins de travail possible quand un cas se présente et exige une solution. Cette recherche des conséquences à tirer des suppositions est ce qui constitue proprement la Science Démonstrative.

On peut, du reste, tirer de nouvelles conclusions de faits supposés, aussi bien que des faits observés, d'inductions fictives coinme des inductions réelles. La déduction, avonsnous vu, consiste en une série d'inférences, en cette forme : — a est une marque de h^ h de c, c de d\ donc a est une' marque de ^o; laquelle conclusion peut être une vérité inaccessible à l'observation directe. Pareillement, on peut dire : supposé que a soit une marque de ô, b de c, c de d; a sera une marque de t/, conclusion à laquelle on ne pensait p^is en posant les prémisses. Un système de propositions aussi compliqué que la géométrie pourrait être déduit de suppositions fausses; témoins Ptolémée, Descartes et autres, dans leur tentative d'expliquer synlhétiquement les phénomènes du système solaire par la supposition que les mouvements apparents des corps célestes étaient les mouvements réels ou plus ou moins approchants du mouvement véritable. On fait quelquefois sciemment la même chose dans le but de montrer la fausseté de la supposition; ce qui s'appelle la reductio ad absurdum. Dans ce cas-là, voici comme on raisonne : a est une marque de b, et 6» de c; maintenant, si c était aussi une marque de d, a serait une marque de d\ or, d est, on le sait, une marque de l'absence àe a\ a serait ainsi la marque de sa propre absence, ce qui est une contradiction ; donc c n'est pas une marque de d»

§ 5. — Quelques auteurs ont soutenu que tout raisonnement repose en dernière analyse sur une reductio ad absurdum, puisque le moyen de forcer l'acquiescement, en cas d'obscurité, serait de montrer que si la conclusion était

niée il faudrait nier une au moins des prémisses, ce qui, les prémisses ayant été supposées vraies, serait une contradiction; et, conformément à ce point de vue, plusieurs ont pensé que la nature particulière de l'évidence du raisonnement consistait dans l'impossibilité d'accorder les prémisses et de rejeter la conclusion sans contradiction dans les termes. Cette théorie, cependant, est inadmissible, comme explication des fondements du raisonnement même. Nier la conclusion après aVoir admis les prémisses n'est pas une contradiction directe et expresse dans les termes, tant qu'on n'est pas forcé de nier quelque prémisse ; et on ne peut y être forcé que par une reductio ad absurdum , c'està-dire par un autre raisonnement. Maintenant, si l'on nie îa validité du procédé syllogistique môme, on ne sera pas plus forcé d'acquiescer au second syllogisme qu'au premier. En fait, donc, personne ne peut être Ibrcé à se contredire dans les termes ; on peut être forcé seulement à une contradiction (ou plutôt une infraction) à la maxime fondamentale du raisonnement, à savoir que tout ce qui a une marque a ce dont il est la marque ; ou, — dans le cas des propositions universelles, — que tout ce qui est une marque d'une chose est une marque de tout ce dont cette marque est la marque. En effet, dans un argument correct, énoncé dans la forme syllogistique, il est évident, sans l'aide d'un autre syllogisme, que celui qui, admettant les prémisses, ne veut pas tirer la conclusion, ne se conforme pas à cet axiome. Nous voici maintenant aussi avancés dans la théorie de la* Déduction qu'il était possible de le faire dans notre recherche actuelle. L'étude du sujet exige, pour êtie poursuivie, que les fondements de la théorie philosophique de l'induction elle-même soient posés. La Déduction étant, comme nous l'avons fait voir, un simple mode du procédé inductif, sa théorie prendra d'elle-même sa place dans celle de l'induction, et recevra sa part de la lumière qui pourra être jetée sur la grande opération intellectuelle dont elle est une partie si importante.